《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

变式 5 - 3 [2025·西湖区校级模拟]如图，$ \triangle ABC $ 内接于 $ \odot O $，点 $ D $ 在 $ \odot O $ 上，连结 $ AD $，$ AO $，分别交 $ BC $ 于点 $ E $，$ F $，$ \angle CAD = \angle BAO $.
（1）求证：$ AD \perp BC $.
（2）若 $ AO // CD $.
①求证：$ CA = CF $.
②若 $ CD = 5 $，$ BF = \sqrt{10} $，求 $ BC $ 的长.
]

答案： 变式5-3
(1)略
(2)①略 ②$\frac{13}{8}\sqrt{10}$

典例 6 [2025·东营]如图，四边形 $ ABCD $ 内接于 $ \odot O $，若 $ \angle BOD = 130° $，则 $ \angle ECD $ 的度数是(C)

A.$ 50° $
B.$ 55° $
C.$ 65° $
D.$ 70° $

答案： 典例6 C

变式 6 - 1 [2023·温州]如图，四边形 $ ABCD $ 内接于 $ \odot O $，$ BC // AD $，$ AC \perp BD $. 若 $ \angle AOD = 120° $，$ AD = \sqrt{3} $，则 $ \angle CAO $ 的度数与 $ BC $ 的长分别为(C)

A.$ 10° $，$ 1 $
B.$ 10° $，$ \sqrt{2} $
C.$ 15° $，$ 1 $
D.$ 15° $，$ \sqrt{2} $

答案： 变式6-1 C

变式 6 - 2 [2025·温州模拟改编]如图，四边形 $ ABCD $ 为 $ \odot O $ 的内接四边形，连结 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ E $. 若 $ AC \perp BD $，$ \angle CAD = \dfrac{1}{2} \angle BAC = \alpha $.
（1）求 $ \angle ADC $ 的大小（用含 $ \alpha $ 的代数式表示）.
（2）若 $ \tan \angle ABD = \dfrac{4}{3} $，$ CD = 5 $，求 $ AB $ 的长.
]

答案： 变式6-2
(1)$\angle ADC=90^{\circ}+\alpha$
(2)15

例题 小舟同学在复习浙教版教材九上 $ 93 $ 页第 $ 1 $ 题后进行变式拓展与思考：如图 1，$ \triangle ABC $ 为 $ \odot O $ 的内接三角形，其中 $ AB = AC $.
（1）【直观感受】①请在图 2 中用圆规和直尺画出满足条件的所有等腰三角形 $ ABC $.
【复习回顾】②若 $ \odot O $ 的半径为 $ 5 $，$ \overset{\frown}{BC} $ 的度数为 $ 120° $，请计算 $ BC $ 的长.
（2）如图 3，连结 $ BO $ 并延长，交 $ AC $ 于点 $ E $，交 $ \odot O $ 于点 $ F $，过点 $ B $ 作 $ BD \perp AC $ 于点 $ D $，记 $ \dfrac{BD}{AB} = x $，$ \dfrac{BC}{OB} = y $.
【思考探究】①求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数关系式（不必写自变量取值范围）.
【感悟应用】②若 $ E $ 为 $ AC $ 的三等分点，求 $ \tan C $ 的值.

解：（1）①如答图 1，$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle A'BC $ 即为所求.

（2 分）
②如答图 2，过点 $ O $ 作 $ OH \perp BC $ 于点 $ H $，连结 $ OC $.
$ \because \overset{\frown}{BC} $ 的度数为 $ 120° $，
$ \therefore \angle BOC = 120° $.
$ \because OB = OC $，$ OH \perp BC $，
$ \therefore BH = CH = \dfrac{1}{2} BC $，$ \angle BOH = \angle COH = 60° $.
又 $ \because OB = 5 $，$ \therefore BH = OB · \sin \angle BOH = \dfrac{5\sqrt{3}}{2} $，
$ \therefore BC = 5\sqrt{3} $.
（4 分）
（2）①如答图 3，过点 $ O $ 作 $ OH \perp BC $ 于点 $ H $，连结 $ OC $.
$ \because \angle A = \dfrac{1}{2} \angle BOC $，$ \angle BOH = \dfrac{1}{2} \angle BOC $，
$ \therefore \angle BOH = \angle A $.
又 $ \because \angle OHB = \angle ADB $，
$ \therefore \triangle BOH \sim \triangle BAD $，
$ \therefore \dfrac{BD}{BH} = \dfrac{AB}{OB} $，$ \therefore \dfrac{BD}{AB} = \dfrac{BH}{OB} = \dfrac{1}{2} · \dfrac{BC}{OB} $，
$ \therefore x = \dfrac{1}{2} y $，即 $ y = 2x $.
（8 分）
②如答图 4，连结 $ AO $ 并延长，交 $ BC $ 于点 $ H $，连结 $ CF $.


$ \because AB = AC $，$ \therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC} $，$ \therefore AH \perp BC $，
$ \therefore BH = CH $，$ \therefore AH // CF $，$ OH = \dfrac{1}{2} FC $，
$ \therefore \triangle AEO \sim \triangle CEF $.
当 $ \dfrac{AE}{EC} = \dfrac{1}{2} $ 时，$ \dfrac{AE}{EC} = \dfrac{AO}{CF} = \dfrac{1}{2} $，
$ \therefore \dfrac{AO}{OH} = \dfrac{1}{1} $，$ \therefore \dfrac{OH}{OB} = 1 $（不合题意，舍去）；
当 $ \dfrac{AE}{EC} = \dfrac{2}{1} $ 时（如答图 5），同理可推得 $ \dfrac{OH}{OB} = \dfrac{1}{4} $.
由（2）①知 $ \triangle BOH \sim \triangle BAD $，
$ \therefore \dfrac{BO}{BA} = \dfrac{OH}{AD} $，$ \therefore \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{OH}{OB} = \dfrac{1}{4} $.
设 $ AD = a $，$ AB = 4a $，则 $ CD = AC - AD = AB - AD = 3a $，$ BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{15} a $，
$ \therefore \dfrac{BD}{CD} = \dfrac{\sqrt{15}}{3} $，即 $ \tan C = \dfrac{\sqrt{15}}{3} $.
（12 分）

答案： （1）②$5\sqrt{3}$；（2）①$y=2x$；②$\frac{\sqrt{15}}{3}$。