《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

2. 图中的五角星图案，绕着它的中心点O旋转n°后，能与自身重合，则n的值至少是 (B)
A. 144
B. 72
C. 120
D. 60

答案： B

3. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD。若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是 (D)
A. 60°
B. 65°
C. 70°
D. 75°

答案： D

4. 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)。
(1) 画出△ABC关于原点O中心对称的△A₁B₁C₁，并写出点A₁，B₁，C₁的坐标；
(2) 画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A₂B₂C₂。

答案：
解:
(1) 如图所示, $ \triangle A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } $ 即为所求.
点 $ A _ { 1 } ( - 2 , - 4 ) $, 点 $ B _ { 1 } ( - 1 , - 1 ) $, 点 $ C _ { 1 } ( - 4 , - 3 ) $.
(2) 如图所示, $ \triangle A _ { 2 } B _ { 2 } C _ { 2 } $ 即为所求.
　　　

5. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=AD，线段BC绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接AC，ED。
(1) 求证：AC=DE；
(2) 若DC=5，BC=12，∠DCB=30°，求AC的长。

答案：
解:
(1) 证明: 如图, 连接 BD.
$ \because \angle D A B = 60 ^ { \circ } $, $ A B = A D $,
$ \therefore \triangle A B D $ 是等边三角形.
$ \therefore A B = D B $, $ \angle A B D = 60 ^ { \circ } $.
$ \because $ 线段 BC 绕点 B 顺时针旋转 $ 60 ^ { \circ } $ 得到线段 BE,
$ \therefore C B = E B $, $ \angle C B E = 60 ^ { \circ } $.
$ \therefore \angle A B C = \angle D B E $.
在 $ \triangle A B C $ 和 $ \triangle D B E $ 中,
$ \left\{ \begin{array} { l } { A B = D B , } \\ { \angle A B C = \angle D B E , } \\ { C B = E B , } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle A B C \cong \triangle D B E ( \mathrm { SAS } ) $.
$ \therefore A C = D E $.
(2) 如图, 连接 CE.
　　　　　
由 $ C B = E B $, $ \angle C B E = 60 ^ { \circ } $, 可得 $ \triangle B C E $ 是等边三角形,
$ \therefore \angle B C E = 60 ^ { \circ } $.
又 $ \because \angle D C B = 30 ^ { \circ } $, $ \therefore \angle D C E = 90 ^ { \circ } $.
$ \because D C = 5 $, $ B C = 12 = C E $,
$ \therefore \mathrm { Rt } \triangle D C E $ 中, $ D E = \sqrt { 5 ^ { 2 } + 12 ^ { 2 } } = 13 $.
$ \therefore A C = 13 $.

6. 如图，在矩形ABCD中，AB=√2，BC=2。将△ABC绕点C顺时针旋转一个角度α得到△FEC，点A，B的对应点分别为点F，E。
(1) 如图1，若点E落在边AD上，求旋转角α的度数；
(2) 如图2，若点E落在线段AF上，CE与AD交于点G，求AG的长。

答案： 解:
(1) $ \because $ 四边形 ABCD 是矩形, $ A B = \sqrt { 2 } $, $ B C = 2 $,
$ \therefore D C = A B = \sqrt { 2 } $, $ \angle D = 90 ^ { \circ } $.
由旋转, 得 $ E C = B C = 2 $,
$ \therefore D E = \sqrt { E C ^ { 2 } - D C ^ { 2 } } = \sqrt { 2 } $.
$ \therefore D E = D C $.
$ \therefore \angle D E C = \angle D C E = 45 ^ { \circ } $.
$ \because B C // A D $,
$ \therefore \alpha = \angle B C E = \angle D E C = 45 ^ { \circ } $.
(2) 由旋转, 得 $ F C = A C $, $ \angle F E C = \angle B = 90 ^ { \circ } $, $ \angle F C E = \angle A C B $,
$ \therefore C E \perp A F $.
$ \therefore \angle A C G = \angle F C E = \angle A C B $.
$ \because \angle C A G = \angle A C B $,
$ \therefore \angle A C G = \angle C A G $.
$ \therefore C G = A G $.
$ \because A D = B C = 2 $,
$ \therefore D G = 2 - A G $.
$ \because C D ^ { 2 } + D G ^ { 2 } = C G ^ { 2 } $,
$ \therefore ( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + ( 2 - A G ) ^ { 2 } = A G ^ { 2 } $,
解得 $ A G = \frac { 3 } { 2 } $.
$ \therefore A G $ 的长为 $ \frac { 3 } { 2 } $.