《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 增减性和最值 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = ax^{2}$ | $a ＞ 0$，开口向上 | $y$轴 | $(0,0)$ | 由前三个要素画出抛物线的大致图象，根据图象即可确定增减性和最值。 |
| $y = ax^{2}+k$ | $a ＜ 0$，开口向下 | $y$轴 | $(0,k)$ | |

答案： 上 下 $ y $ 轴 $ (0,k) $

【例2】(多维原创)抛物线$y = 3x^{2}-2$的顶点坐标为$(0,-2)$，当$x =$$0$时，函数有最小值，为$-2$；该抛物线可看成由抛物线$y = 3x^{2}$向下平移$2$个单位长度得到。

答案： $ (0,-2) $ $ 0 $ 小 $ -2 $ 下 $ 2 $

【变式2】(1) 抛物线$y = -2x^{2}+1$向上平移3个单位长度可得到的抛物线解析式为____；
(2) 抛物线$y = -x^{2}+3$的顶点坐标为____，函数有最____值，为____。

答案：
(1) $ y = -2x^{2}+4 $
(2) $ (0,3) $ 大 $ 3 $

1. 抛物线$y = x^{2}+3$的顶点坐标为(A)
A. $(0,3)$
B. $(0,-3)$
C. $(3,0)$
D. $(-3,0)$

答案： A

2. 二次函数$y = 2x^{2}-3$的图象大致是(B)

答案： B

3. (1) 把二次函数$y = -2x^{2}$的图象向下平移5个单位长度，得到抛物线的解析式为$ y = -2x^{2}-5 $；
(2) 把抛物线$y = -\frac{1}{3}x^{2}-2$向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式是$ y = -\frac{1}{3}x^{2}+3 $。

答案：
(1) $ y = -2x^{2}-5 $
(2) $ y = -\frac{1}{3}x^{2}+3 $

| 二次函数 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 最大(小)值 | 增减性 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = 2x^{2}-7$ | 向上 | $y$轴 | $(0,-7)$ | 当$x =$0时，$y$有最小值，为$-7$。 | 当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大。 |
| $y = -\frac{1}{2}x^{2}+3$ | 向下 | $y$轴 | $(0,3)$ | 当$x =$0时，$y$有最大值，为$3$。 | 当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而增大。 |

答案： 向上 $ y $ 轴 $ (0,-7) $ $ 0 $ 小 $ -7 $ 增大 向下 $ y $ 轴 $ (0,3) $ $ 0 $ 大 $ 3 $ 增大

5. 已知点$A(-1,y_{1})$，$B(-2,y_{2})$都在抛物线$y = 4x^{2}+1$上，则$y_{1}$与$y_{2}$之间的大小关系是(B)
A. $y_{1} ＞ y_{2}$
B. $y_{1} ＜ y_{2}$
C. $y_{1} = y_{2}$
D. 不能确定大小关系

答案： B

6. 关于抛物线$y = 2x^{2}-1$，下列说法不正确的是(C)
A. 向上平移1个单位长度可得到抛物线$y = 2x^{2}$
B. 当$x = 0$时，函数有最小值$-1$
C. 当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而增大
D. 与抛物线$y = -2x^{2}+1$关于$x$轴对称

答案： C

7. (多维原创)已知二次函数$y = -2x^{2}+3$的图象如图所示，那么当$-3\leqslant x\leqslant 1$时，$y$的最大值为3，$y$的取值范围为$-15 \leq y \leq 3$。

答案： 3 $ -15 \leq y \leq 3 $