《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

一、预习导学
在平面直角坐标系中，有两点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则：
$AB^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}$，
$AB=$$\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$.
1. 已知点$A(1,5)$，$B(4,1)$，则线段$AB=$1.5.
2. 已知点$A(-1,0)$，$B(3,-2)$，则线段$AB=$2$\sqrt{5}$.
3. 已知点$A(-1,1)$，$B(-4,-2)$，则线段$AB=$3$\sqrt{2}$.

答案： 1.5　2.2$\sqrt{5}$　3.3$\sqrt{2}$

【例1】如图，已知抛物线$y=-x^{2}-2x+3$与$x$轴交于点$A(1,0)$和点$B(-3,0)$，与$y$轴交于点$C(0,3)$.设抛物线的对称轴与$x$轴交于点$M$.
(1)求抛物线的对称轴和点$M$的坐标；
(2)请问在对称轴上是否存在点$P$，使$\triangle CMP$为等腰三角形？请说明理由；
(3)请问在对称轴上是否存在点$Q$，使$\triangle CMQ$为直角三角形？请说明理由.

答案：
解:
(1)抛物线的对称轴为直线x=$\frac{-2}{2}$=-1，M(-1,0)。
(2)存在，理由如下：
如图1。

设点P坐标为(-1,a)。
则PM²=a²，CM²=(-1)²+3²，CP²=(-1)²+(3-a)²。
分类讨论：
①当PC=PM时，(-1)²+(3-a)²=a²，解得a=$\frac{5}{3}$。
∴P₁(-1,$\frac{5}{3}$)；
②当MC=MP时，(-1)²+3²=a²，解得a=±$\sqrt{10}$。
∴P₂(-1,$\sqrt{10}$)，P₃(-1,-$\sqrt{10}$)；
③当CM=CP时，(-1)²+3²=(-1)²+(3-a)²，解得a=6或a=0(舍去)。
∴P₄(-1,6)。
综上所述，存在符合条件的点P，其坐标为(-1,$\sqrt{10}$)或(-1,-$\sqrt{10}$)或(-1,6)或(-1,$\frac{5}{3}$)。
(3)存在，理由如下：
如图2。

设点Q坐标为(-1,b)。
则QM²=b²，CM²=(-1)²+3²，CQ²=(-1)²+(3-b)²。
分类讨论：
①当∠CQM=90°时，CQ²+QM²=CM²，即(-1)²+(3-b)²+b²=(-1)²+3²，解得b=3或b=0(舍去)。
∴Q₁(-1,3)。
②当∠MCQ=90°时，CM²+CQ²=QM²，即(-1)²+3²+(-1)²+(3-b)²=b²，解得b=$\frac{10}{3}$。
∴Q₂(-1,$\frac{10}{3}$)。
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为(-1,3)或(-1,$\frac{10}{3}$)。

【例2】如图，抛物线$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$与$x$轴交于$A(-2,0)$，$B(8,0)$两点，与$y$轴交于点$C(0,4)$，连接$AC$，$BC$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点$P$是抛物线上的一动点，当$∠PCB=∠ABC$时，求点$P$的坐标.

答案：
解:
(1)
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A(-2,0)，B(8,0)两点，与y轴交于点C(0,4)。
∴$\begin{cases}4a - 2b + c = 0\\64a + 8b + c = 0\\c = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{4}\\b = \frac{3}{2}\\c = 4\end{cases}$
∴抛物线的解析式为y=$-\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4。
(2)分两种情况：
①当点P在BC上方时，如图1。

∵∠PCB=∠ABC，
∴PC//AB。
∴点C，P的纵坐标相等。
∴点P的纵坐标为4。
令y=4，则$-\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=4，解得x=0或x=6。
∴P(6,4)。
②当点P在BC下方时，如图2。

设PC交x轴于点H。
∵∠PCB=∠ABC，
∴HC=HB。
设HB=HC=m，
∴OH=OB - HB=8 - m。
在Rt△COH中，OC²+OH²=CH²，即4²+(8 - m)²=m²，解得m=5。
∴OH=3。
∴H(3,0)。
设直线PC的解析式为y=kx+n。
将点C，H代入，得$\begin{cases}n = 4\\3k + n = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{4}{3}\\n = 4\end{cases}$
∴y=$-\frac{4}{3}$x+4。
联立$\begin{cases}y = -\frac{4}{3}x + 4\\y = -\frac{1}{4}x² + \frac{3}{2}x + 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x₁ = 0\\y₁ = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x₂ = \frac{34}{3}\\y₂ = -\frac{100}{9}\end{cases}$
∴P($\frac{34}{3}$,$-\frac{100}{9}$)。
综上所述，点P的坐标为(6,4)或($\frac{34}{3}$,$-\frac{100}{9}$)。