《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 圆锥是由一个底面和一个侧面两个面围成的几何体，连接圆锥顶点和底的圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。

答案： 底面 侧面 顶点

2. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，侧面展开图的弧长就是底面的周长，即$l = 2πr$。请推导以下两个公式：
(1)$S_{侧} = \frac{1}{2}lR =$$\frac{1}{2} × 2\pi rR$$=$$\pi rR$；
(2)由$2πr = \frac{2πR·n}{360}$得$\frac{r}{R} =$$\frac{n}{360}$。

答案： 扇 周长
(1) $\frac{1}{2} × 2\pi rR$ $\pi rR$
(2) $\frac{n}{360}$

3. 圆锥有关计算公式：
(1)$h^{2} + r^{2} =$$R^{2}$；(2)$S_{侧} =$$\pi rR$，$S_{全} =$$\pi rR + \pi r^{2}$；(3)$\frac{r}{R} =$$\frac{n}{360}$。

答案：
(1) $R^{2}$
(2) $\pi rR$ $\pi rR + \pi r^{2}$
(3) $\frac{n}{360}$

【例1】如图，圆锥的底面半径$r = 6$，高$h = 8$，求圆锥的侧面积和全面积。

答案： 解：
∵圆锥的底面半径 $r = 6$，高 $h = 8$，
∴圆锥的母线长 $l = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$。
∴圆锥的侧面积 $= \pi × 6 × 10 = 60\pi$，
圆锥的全面积 $= 60\pi + \pi × 6^{2} = 96\pi$。

【变式1】已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，求圆锥的侧面积和全面积。

答案： 解：$S_{侧} = \pi rR = \pi × 5 × 3 = 15\pi(cm^{2})$。
$S_{全} = 15\pi + \pi r^{2} = 24\pi(cm^{2})$。

【例2】如图，用圆心角为$120^{\circ}$，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，求圆锥的底面半径。

答案： 解：这个纸帽的底面周长为 $\frac{120 × \pi × 6}{180} = 4\pi(cm)$。
设这个纸帽的底面半径为 $r cm$。
根据题意，得 $2\pi r = 4\pi$，
解得 $r = 2$。
答：这个纸帽的底面半径为 $2 cm$。

【变式2】(人教教材母题)圆锥的底面直径为80cm，母线长90cm。求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积。

答案： 解：圆锥侧面展开图扇形的弧长为 $80\pi cm$。
∵ $80\pi = \frac{n\pi × 90}{180}$，
∴ $n = 160$，即侧面展开图扇形的圆心角为 $160^{\circ}$。
∴圆锥的全面积为 $S_{全} = S_{侧} + S_{底} = \frac{1}{2} × 80\pi × 90 + \pi × (\frac{80}{2})^{2} = 3600\pi + 1600\pi = 5200\pi(cm^{2})$。