《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例2】(人教教材母题)如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown }{AB}=\overset{\frown }{BC},∠ACB=60^{\circ }$.求证:$∠AOB=∠BOC=∠AOC$.

答案： 证明：$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore AB = BC$．
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形．
$\because \angle ACB = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABC$是等边三角形．
$\therefore AB = BC = CA$．
$\therefore \angle AOB=\angle BOC=\angle AOC$．

1. 如图,在$\odot O$中,$BC$是直径,$AB=DC$,则下列结论不一定成立的是(A)
A. $OA=OB=AB$
B. $∠AOB=∠COD$
C. $\overset{\frown }{AB}=\overset{\frown }{DC}$
D. 点$O$到$AB,CD$的距离相等

答案： 1. A

2. (易错)下列说法正确的是(D)
A. 相等的圆心角所对的弧相等
B. 平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧
C. 相等的弦所对的圆心角相等
D. 等弧所对的弦相等

答案： 2. D

3. (人教教材母题改编)如图,点$A,B,C,D$在$\odot O$上,$AC=BD.\overset{\frown }{AB}$与$\overset{\frown }{CD}$相等吗? 为什么?

答案： 3. 解：相等．理由如下：$\because AC = BD$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$．
$\therefore \overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{BC}$．
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$．

4. 如图,已知点$C,D$是以$AB$为直径的$\odot O$上的两点,连接$BC,OC,OD$,若$OD// BC$,求证:点$D$为$\overset{\frown }{AC}$的中点.

答案： 4. 证明：$\because OB = OC$，
$\therefore \angle B=\angle C$．
$\because OD// BC$，
$\therefore \angle AOD=\angle B$，$\angle COD=\angle C$．
$\therefore \angle AOD=\angle COD$．
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，即点$D$为$\overset{\frown}{AC}$的中点．

5. (人教教材母题改编)如图,在$\odot O$中,$AB,CD$是两条弦,$OE⊥AB,OF⊥CD$,垂足分别为点$E,F$.
(1)如果$∠AOB=∠COD$,那么$OE$与$OF$的大小有什么关系? 为什么?
(2)如果$OE=OF$,那么$\overset{\frown }{AB}$与$\overset{\frown }{CD}$的大小有什么关系?$AB$与$CD$的大小有什么关系? 为什么?$∠AOB$与$∠COD$呢?

答案： 5. 解：
(1)$OE = OF$．理由如下：
$\because OE\perp AB$，$OF\perp CD$，$OA = OB$，
$OC = OD$，
$\therefore \angle OEB=\angle OFD = 90^{\circ}$，$\angle EOB=\frac{1}{2}\angle AOB$，$\angle FOD=\frac{1}{2}\angle COD$．
$\because \angle AOB=\angle COD$，
$\therefore \angle EOB=\angle FOD$．
在$\triangle EOB$和$\triangle FOD$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle OEB=\angle OFD,\\ \angle EOB=\angle FOD,\\ OB = OD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle EOB\cong \triangle FOD(AAS)$．
$\therefore OE = OF$．
(2)$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$AB = CD$，$\angle AOB=\angle COD$理由如下：
$\because OE\perp AB$，$OF\perp CD$，
$\therefore \angle OEB=\angle OFD = 90^{\circ}$．
在$Rt\triangle BEO$和$Rt\triangle DFO$中，
$\left\{\begin{array}{l}OB = OD,\\ OE = OF,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle BEO\cong Rt\triangle DFO(HL)$．
$\therefore BE = DF$．
由垂径定理，得$AB = 2BE$，$CD = 2DF$，
$\therefore AB = CD$．
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$\angle AOB=\angle COD$．