《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例3】已知二次函数$y = -x^{2}$。
(1)当$1 ＜ x ＜ 2$时，$y$的取值范围为$-4 ＜ y ＜ -1$；
(2)当$-1 \leq x \leq 2$时，$y$的最大值为0，最小值为-4。

答案： 1. （1）
对于二次函数$y = -x^{2}$，其图象开口向下，对称轴为$x = 0$。
当$x = 1$时，$y=-1^{2}=-1$；当$x = 2$时，$y=-2^{2}=-4$。
因为函数在$(1,2)$上单调递减，所以当$1\lt x\lt2$时，$y$的取值范围是$-4\lt y\lt - 1$。
2. （2）
对于二次函数$y=-x^{2}$，对称轴$x = 0$。
当$x = 0$时，$y$取得最大值，$y_{max}=-0^{2}=0$。
分别计算区间端点值：
当$x=-1$时，$y=-(-1)^{2}=-1$；当$x = 2$时，$y=-2^{2}=-4$。
因为$-4\lt - 1$，所以$y_{min}=-4$。
故答案依次为：（1）$-4\lt y\lt - 1$；（2）$0$；$-4$。

【变式3】已知二次函数$y = x^{2}$。
(1)当$-2 ＜ x \leq -1$时，$y$的取值范围为$1\leqslant y ＜ 4$；
(2)当$-2 \leq x ＜ 3$时，$y$的取值范围为$0\leqslant y ＜ 9$。

答案：
(1)$1\leqslant y ＜ 4$
(2)$0\leqslant y ＜ 9$

1. 已知二次函数$y = (m - 1)x^{2}$的图象开口向下，则$m$的取值范围是$m ＜ 1$。

答案： $m ＜ 1$

2. 如图为二次函数$y = mx^{2}$的图象，则$m$＜0，抛物线开口向下；对称轴是$y$轴；顶点坐标是$(0,0)$；在对称轴的左侧，$y$随$x$的增大而增大，在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而减小；当$x = 0$时，$y$有最大值，为$0$。

答案： $＜$ 向下 $y$轴 $(0,0)$ 增大 减小 $x = 0$ 大 $0$

3. (多维原创)关于$y = x^{2}$，$y = 2x^{2}$，$y = \frac{1}{3}x^{2}$的图象，下列说法不正确的是(D)
A. 开口方向相同
B. 对称轴相同
C. 顶点相同
D. 形状相同

答案： D

4. 关于函数$y = -\sqrt{3}x^{2}$的图象，下列说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是$y$轴；④顶点坐标是$(0,0)$，其中正确的个数是(D)
A. $1$个
B. $2$个
C. $3$个
D. $4$个

答案： D

5. 已知函数$y = -x^{2}$的图象上有三个点：$A(-3,y_{1})$，$B(-1,y_{2})$，$C(2,y_{3})$，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系为(B)
A. $y_{1} ＞ y_{2} ＞ y_{3}$
B. $y_{2} ＞ y_{3} ＞ y_{1}$
C. $y_{3} ＞ y_{2} ＞ y_{1}$
D. $y_{3} ＞ y_{1} ＞ y_{2}$

答案： B

6. (易错)函数$y = ax^{2}$与$y = -x - a$的图象可能是(C)

答案： C

7. (多维原创)如图，点$P$为抛物线$y = x^{2}$上的任意一点，点$A$的坐标为$(4,0)$。若$OP = AP$，则点$P$的坐标为$(2,4)$；若$\triangle POA$的面积为$6$，则点$P$的坐标为$(\sqrt{3},3)$或$(-\sqrt{3},3)$。

答案： $(2,4)$ $(\sqrt{3},3)$或$(-\sqrt{3},3)$