《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例1】(人教教材母题改编)如图，$\triangle ABC$和$\triangle ECD$都是等边三角形，$\triangle EBC$可以看作是$\triangle DAC$经过平移、轴对称或旋转得到.
(1)说明得到$\triangle EBC$的过程；
(2)设$AD$与$BE$交于点$P$，求$\angle APB$的度数.

答案： 解：
(1)
∵△ECD是等边三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°。
同理CA=CB，∠ACB=60°，
∴以点C为旋转中心将△DAC逆时针旋转60°就得到△EBC。
(2)由
(1)，得△DAC≌△EBC，
∴∠CAD=∠CBE。
∵∠CAD+∠APB=∠CBE+∠ACB，
∴∠APB=∠ACB=60°。

【变式1】如图，点$O$是等边三角形$ABC$内的一点，$\angle BOC=\alpha$.将$\triangle BOC$绕点$C$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$\triangle ADC$，连接$OD$.
(1)求证：$\triangle COD$是等边三角形；
(2)当$\alpha=150^{\circ}$时，$OB=4$，$OC=3$，求$OA$的长.

答案： 解：
(1)证明：
∵△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°。
∴△COD是等边三角形。
(2)
∵△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC，
∴△BOC≌△ADC。
∴∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=4。
又
∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，OD=OC=3。
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=90°。
∴$OA=\sqrt{AD^{2}+OD^{2}}=5。$

【例2】如图，将等腰三角形$ABC$绕顶点$B$逆时针旋转$\alpha$到$\triangle A_{1}BC_{1}$的位置，$AB$与$A_{1}C_{1}$相交于点$D$，$AC$与$A_{1}C_{1}$，$BC_{1}$分别交于点$E$，$F$.
(1)求证：$\triangle BCF\cong\triangle BA_{1}D$；
(2)当$\angle C=\alpha$时，判断四边形$A_{1}BCE$的形状并说明理由.

答案： 【解析】：
(1) 因为$\triangle ABC$是等腰三角形，所以$AB = BC$，$\angle A=\angle C$。
由于等腰三角形$ABC$绕顶点$B$逆时针旋转$\alpha$到$\triangle A_{1}BC_{1}$的位置，所以$A_{1}B = AB = BC$，$\angle A_{1}=\angle A=\angle C$，$\angle A_{1}BD=\angle CBC_{1}=\alpha$。
在$\triangle BCF$和$\triangle BA_{1}D$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle A_{1}=\angle C\\A_{1}B = BC\\\angle A_{1}BD=\angle CBF\end{array}\right.$，根据$ASA$（角边角）定理，可得$\triangle BCF\cong\triangle BA_{1}D$。
(2) 因为$\triangle ABC$绕顶点$B$逆时针旋转$\alpha$到$\triangle A_{1}BC_{1}$的位置，所以$\angle A_{1}=\angle A$。
又因为$\angle ABC + 2\angle C=180^{\circ}$，$\angle C=\alpha$，$\angle A_{1}BA=\alpha$，所以$\angle A_{1}=\angle A = 180^{\circ}-\angle ABC-\angle C=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\alpha)-\alpha=\alpha$。
所以$\angle A_{1}=\angle C=\alpha$，$\angle A_{1}BA=\angle A_{1}EC=\alpha$（$\angle A_{1}EC$与$\angle AED$是对顶角，$\angle AED$和$\angle A_{1}BA$是同位角）。
所以$A_{1}B// CE$，$A_{1}E// BC$（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）。
又因为$A_{1}B = BC$，所以四边形$A_{1}BCE$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析，证得$\triangle BCF\cong\triangle BA_{1}D$。
(2) 四边形$A_{1}BCE$是菱形，理由如上述解析。

【变式2】如图，在四边形$ABCD$中，$\angle B=60^{\circ}$，对角线$AC=BC$，点$E$在$AB$上，将$CE$绕点$C$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$CF$，且点$F$在$AD$上.
(1)求证：$AF=BE$；
(2)若$AE=DF$，求证：四边形$ABCD$是菱形.

答案： 【解析】：
(1) 连接 $EF$。
因为将 $CE$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $60^{\circ}$ 得到 $CF$，所以 $CE = CF$，$\angle ECF = 60^{\circ}$，则 $\triangle ECF$ 是等边三角形，$\angle EFC = 60^{\circ}$。
又因为 $AC = BC$，$\angle B = 60^{\circ}$，所以 $\triangle ABC$ 是等边三角形，$\angle ACB = 60^{\circ}$，$AC = BC$。
$\angle ACB-\angle ACE=\angle ECF-\angle ACE$，即 $\angle BCE=\angle ACF$。
在 $\triangle BCE$ 和 $\triangle ACF$ 中，$\begin{cases}BC = AC\\\angle BCE=\angle ACF\\CE = CF\end{cases}$，所以 $\triangle BCE\cong\triangle ACF(SAS)$，则 $AF = BE$。
(2) 因为 $AF = BE$，$AE = DF$，所以 $AB = AD$。
由
(1)知 $\triangle ABC$ 是等边三角形，所以 $AB = BC = AC$。
又因为 $AC = BC$，$\triangle BCE\cong\triangle ACF$，所以 $\angle B=\angle CAF = 60^{\circ}$，则 $BC// AD$。
因为 $AB = BC$，$AB = AD$，所以 $BC = AD$，所以四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
又因为 $AB = BC$，所以平行四边形 $ABCD$ 是菱形。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 证明见上述解析。