《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

知识点6 三角形的外接圆与内切圆
(1)三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点;
(2)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.

答案： 【解析】：根据三角形外心和内心的定义，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点；三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点。
【答案】：
(1)垂直平分线；
(2)角平分线

6.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A=70^{\circ}$.
(1)点O是$\triangle ABC$的外心,则$\angle BOC=$140$^{\circ}$;
(2)点O是$\triangle ABC$的内心,则$\angle BOC=$125$^{\circ}$.

答案： 【解析】：
(1) 因为点$O$是$\triangle ABC$的外心，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍，$\angle A$与$\angle BOC$分别是弧$BC$所对的圆周角和圆心角，所以$\angle BOC = 2\angle A$。已知$\angle A = 70^{\circ}$，则$\angle BOC = 2×70^{\circ}=140^{\circ}$。
(2) 因为点$O$是$\triangle ABC$的内心，所以$BO$平分$\angle ABC$，$CO$平分$\angle ACB$。在$\triangle ABC$中，$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A=180^{\circ} - 70^{\circ}=110^{\circ}$，那么$\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)=\frac{1}{2}×110^{\circ}=55^{\circ}$。在$\triangle BOC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BOC = 180^{\circ}-(\angle OBC+\angle OCB)=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}$。
【答案】：
(1) $140$
(2) $125$

7.如图,$\odot O$是正方形ABCD的外接圆,点E是$\overset{\frown}{AD}$上任意一点,则$\angle BEC$的度数为$45^{\circ}$.

答案： 【解析】：连接$OB$、$OC$。
因为$\odot O$是正方形$ABCD$的外接圆，所以$\angle BOC = 90^{\circ}$（正方形的中心角为$90^{\circ}$）。
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，点$E$是$\overset{\frown}{AD}$上任意一点，$\angle BEC$与$\angle BOC$都对弧$\overset{\frown}{BC}$，所以$\angle BEC=\dfrac{1}{2}\angle BOC$。
则$\angle BEC = 45^{\circ}$。
【答案】：$45^{\circ}$

知识点8 弧长与扇形面积
(1)弧长公式:$l=$$\frac{n\pi R}{180}$;
(2)扇形面积公式:$S_{扇形}=$$\frac{n\pi R^{2}}{360}$或$S_{扇形}=$$\frac{1}{2}lR$.

答案： 【解析】：
(1)弧长公式推导：圆的周长$C = 2\pi R$，整个圆的圆心角是$360^{\circ}$，扇形圆心角为$n^{\circ}$，则弧长$l=\frac{n}{360}×2\pi R=\frac{n\pi R}{180}$；
扇形面积公式推导：圆的面积$S=\pi R^{2}$，则$S_{扇形}=\frac{n}{360}×\pi R^{2}=\frac{n\pi R^{2}}{360}$，又因为$l = \frac{n\pi R}{180}$，所以$S_{扇形}=\frac{1}{2}lR$（将$l=\frac{n\pi R}{180}$代入$\frac{1}{2}lR$可得$\frac{n\pi R^{2}}{360}$）。
(2)
已知扇形半径$R = 1$，圆心角$n = 120^{\circ}$，根据弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$，则弧长$l=\frac{120\pi×1}{180}=\frac{2\pi}{3}$；根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{n\pi R^{2}}{360}$，则面积$S_{扇形}=\frac{120\pi×1^{2}}{360}=\frac{\pi}{3}$。
已知$S_{扇形}=2\pi\space cm^{2}$，$R = 4\space cm$，根据$S_{扇形}=\frac{n\pi R^{2}}{360}$，可得$2\pi=\frac{n\pi×4^{2}}{360}$，即$2=\frac{16n}{360}$，$n=\frac{2×360}{16}=45^{\circ}$。

8.(1)已知一个扇形的半径是1,圆心角是$120^{\circ}$,则这个扇形的弧长为____,面积为____;
(2)一个扇形的面积为$2\pi cm^{2}$,半径为4cm,则扇形的圆心角为____.

答案： 【答案】：
(1)$\boldsymbol{\frac{n\pi R}{180}}$；$\boldsymbol{\frac{n\pi R^{2}}{360}}$；$\boldsymbol{\frac{1}{2}lR}$
(2)$\boldsymbol{\frac{2\pi}{3}}$；$\boldsymbol{\frac{\pi}{3}}$；$\boldsymbol{45^{\circ}}$

知识点9 圆锥的侧面积和全面积
(1)$S_{侧}=$$\pi rR$;
(2)$S_{全}=$$\pi r(R + r)$;
(3)$\frac{r}{R}=$$\frac{n}{360}$.

答案： 【解析】：
1. 圆锥的侧面积公式推导：
圆锥的侧面展开图是一扇形，扇形的弧长$l = 2\pi r$（$r$为圆锥底面半径），扇形的半径为$R$（圆锥的母线长）。
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$（$l$是弧长，$R$是半径），把$l = 2\pi r$代入可得$S_{侧}=\pi rR$。
2. 圆锥的全面积公式推导：
圆锥的全面积$S_{全}=S_{侧}+S_{底}$。
已知$S_{侧}=\pi rR$，$S_{底}=\pi r^{2}$（圆的面积公式$S = \pi r^{2}$，$r$为底面半径），所以$S_{全}=\pi rR+\pi r^{2}=\pi r(R + r)$。
3. 圆锥侧面展开图扇形弧长与底面圆周长关系推导：
圆锥侧面展开图扇形弧长$l=\frac{n\pi R}{180}$（扇形弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$，$n$是圆心角度数，$R$是扇形半径），底面圆周长$C = 2\pi r$。
因为圆锥侧面展开图扇形弧长等于底面圆周长，即$2\pi r=\frac{n\pi R}{180}$，可得$n=\frac{360r}{R}$，同时$\frac{r}{R}=\frac{n}{360}$（由$2\pi r=\frac{n\pi R}{180}$化简：两边同时除以$\pi R$，得到$\frac{2r}{R}=\frac{n}{180}$，再进一步变形）。
【答案】：
1. $\pi rR$
2. $\pi r(R + r)$
3. $\frac{n}{360}$

9.(1)圆锥的底面半径为3cm,母线长为4cm,则圆锥的侧面积为12π cm²,全面积为21π cm²;
(2)已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为8cm,则它的侧面展开图的圆心角度数为180°.

答案： 【解析】：
(1)
首先求圆锥的侧面积：
圆锥的侧面积公式为$S_{侧}=\pi rl$（其中$r$是底面半径，$l$是母线长）。
已知圆锥底面半径$r = 3cm$，母线长$l = 4cm$，将其代入公式可得$S_{侧}=\pi×3×4 = 12\pi cm^{2}$。
然后求圆锥的全面积：
圆锥的全面积$S_{全}=S_{侧}+S_{底}$，其中$S_{底}=\pi r^{2}$。
已知$r = 3cm$，则$S_{底}=\pi×3^{2}=9\pi cm^{2}$，又因为$S_{侧}=12\pi cm^{2}$，所以$S_{全}=12\pi + 9\pi=21\pi cm^{2}$。
(2)
设圆锥侧面展开图的圆心角为$n^{\circ}$。
圆锥底面周长$C = 2\pi r$（$r$为底面半径），已知$r = 4cm$，则$C = 2\pi×4 = 8\pi cm$。
圆锥侧面展开图扇形的弧长公式为$l=\frac{n\pi l_{母}}{180}$（$l_{母}$为母线长），已知母线长$l_{母}=8cm$，且圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，即$8\pi=\frac{n\pi×8}{180}$。
两边同时约去$\pi$得$8=\frac{n×8}{180}$，
等式两边同时乘以$180$得$8×180 = 8n$，
解得$n = 180$。
【答案】：
(1)$12\pi cm^{2}$；$21\pi cm^{2}$；
(2)$180^{\circ}$

1.下列说法正确的是 (D)
A.弦是直径
B.平分弦的直径垂直于弦
C.等弦所对圆周角相等
D.半圆是弧

答案： D

2.如图,在$3× 3$的方格纸中,每个小方格都是边长为1cm的正方形,A,B,O是格点,则图中扇形OAB中阴影部分的面积是$(2\pi - 4)cm^{2}$.

答案： $(2\pi - 4)cm^{2}$

3.如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=BC=2$,分别以点A,B,C为圆心,$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧,则三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是$2-\frac{\pi}{2}$.(结果保留$\pi$)

答案： $2-\frac{\pi}{2}$