《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【变式3】(1)函数$ y = x ^ { 2 } $的自变量x的取值范围是________.
(2)函数$ y = \frac { 1 } { \sqrt { x - 1 } } $的自变量x的取值范围是________.

答案：
(1) $ x $ 为全体实数
(2) $ x ＞ 1 $

【例4】如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m.设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为$ S m ^ { 2 } $.

(1)写出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
(2)当该矩形菜园的面积为$ 72 m ^ { 2 } $时，求边AB的长.

答案： 解：
(1) $ \because AB = CD = x \, \text{m} $， $ \therefore BC = (30 - 2x) \, \text{m} $. 由题意，得 $ S = x(30 - 2x) = -2x^{2} + 30x(6 \leq x ＜ 15) $.
(2) 当 $ S = 72 $ 时， $ -2x^{2} + 30x = 72 $，解得 $ x = 3 $ 或 $ x = 12 $. 当 $ x = 3 $ 时， $ 30 - 2x = 24 ＞ 18 $，不合题意. $ \therefore x $ 取 12. 答： $ AB $ 的长为 12 m.

【变式4】如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为14m的墙，另外三边用长为27m的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1m的门.设$ A B = x m $时，鸡舍面积为$ S m ^ { 2 } $.

(1)求S关于x的函数解析式及x的取值范围；
(2)当AB为多少时，鸡舍的面积为$ 90 m ^ { 2 } $?

答案： 解：
(1) 根据题意，得 $ S = (27 + 1 - 2x) \cdot x = -2x^{2} + 28x $. $ \because 14 \geq 27 + 1 - 2x ＞ 0 $， $ \therefore 7 \leq x ＜ 14 $. $ \therefore x $ 的取值范围为 $ 7 \leq x ＜ 14 $.
(2) 根据题意，得 $ -2x^{2} + 28x = 90 $，解得 $ x_{1} = 5 $， $ x_{2} = 9 $. 当 $ x = 5 $ 时， $ 27 + 1 - 2x = 18 ＞ 14 $，不合题意. 当 $ x = 9 $ 时， $ 27 + 1 - 2x = 10 ＜ 14 $，符合题意. 答：当 $ AB $ 为 9 m 时，鸡舍的面积为 $ 90 \, \text{m}^{2} $.

1. 下列函数中，是y关于x的二次函数的是 (C)
A. $ y = x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 3 $
B. $ y = - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } $
C. $ y = x ^ { 2 } + x $
D. $ y = m x ^ { 2 } + x + 1 $

答案： C

2. 函数$ y = \frac { \sqrt { x + 1 } } { x - 3 } $的自变量x的取值范围是 (C)
A. $ x \neq 3 $
B. $ x \geq 3 $
C. $ x \geq - 1 $且$ x \neq 3 $
D. $ x \geq - 1 $

答案： C

3. 若函数$ y = m x ( x - 1 ) - x ^ { 2 } $是关于x的二次函数，则m的取值范围是 (C)
A. $ m \neq 0 $
B. $ m \neq - 1 $
C. $ m \neq 1 $
D. $ m \neq \pm 1 $

答案： C

4. 二次函数$ y = x ^ { 2 } + 4 x - 3 $中，当$ x = - 1 $时，函数y的值是-6.

答案： $ -6 $

5. 已知函数$ y = ( m - 1 ) x ^ { m ^ { 2 } + 1 } + 4 x - 5 $是二次函数，则$ m = $$-1$.

答案： $ -1 $

6. (人教教材母题)某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y与x之间的关系为$ y = 20x^{2} + 40x + 20 $.

答案： $ y = 20x^{2} + 40x + 20 $

7. (核心素养)如图，在$ R t \triangle A B C $中，$ \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ A C = 20 c m $，$ B C = 10 c m $，点M以2cm/s的速度从点B向点C运动，同时点N以4cm/s的速度从点C向点A运动.设运动开始第t秒钟时，四边形ANMB的面积为$ S c m ^ { 2 } $，求S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围.

答案： 解：依题意，得 $ CN = 4t \, \text{cm} $， $ CM = (10 - 2t) \, \text{cm} $. $ \because \angle C = 90^{\circ} $， $ AC = 20 \, \text{cm} $， $ BC = 10 \, \text{cm} $， $ \therefore S = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle CMN} = \frac{1}{2} × 20 × 10 - \frac{1}{2} × 4t × (10 - 2t) = 4t^{2} - 20t + 100 $. 自变量 $ t $ 的取值范围为 $ 0 ＜ t ＜ 5 $. 即 $ S = 4t^{2} - 20t + 100(0 ＜ t ＜ 5) $.