《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例2】如图，一次函数$y = kx + b$与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于$A(2,3)$，$B(-3,n)$两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)在$x$轴上是否存在一点$P$，使得$\triangle ABP$的面积为10，若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
解:
(1)
∵点A(2,3)在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴3=$\frac{m}{2}$,
解得m = 6,即y=$\frac{6}{x}$.
把B(-3,n)代入y=$\frac{6}{x}$,得
n=$\frac{6}{-3}$=-2,
∴点B(-3,-2).
把A(2,3),B(-3,-2)代入y = kx + b中,得$\begin{cases}3 = 2k + b\\-2=-3k + b\end{cases}$,
解得$\begin{cases}k = 1\\b = 1\end{cases}$.
∴一次函数的解析式为y = x + 1,反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$.
(2)存在点P使得$S_{\triangle ABP}=10$.
理由如下:如图，设直线AB与x轴交于点C,连接BP,AP.

把y = 0代入y = x + 1,得x=-1,即点C(-1,0).
设点P坐标为(a,0),
则PC=|a-(-1)|=|a + 1|.
∴$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle ACP}+S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}×3×|a + 1|+\frac{1}{2}×|- 2|×|a + 1| = 10$,
解得a = 3或a=-5.
∴存在点P使得$S_{\triangle ABP}=10$,
点P的坐标为(3,0)或(-5,0).

【变式2】如图，一次函数$y = kx + 2(k≠0)$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0,x＞0)$的图象交于点$A(2,n)$，与$y$抽交于点$B$，与$x$轴交于点$C(-4,0)$.

(1)求$k$与$m$的值；
(2)$P(a,0)$为$x$轴上的一动点，当$\triangle APB$的面积为3时，求$a$的值.

答案： 解:
(1)把C(-4,0)代入y = kx + 2,得-4k + 2 = 0,
∴k=$\frac{1}{2}$.
∴一次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}x + 2$.
把A(2,n)代入y=$\frac{1}{2}x + 2$,得n = 3.
∴A(2,3).
把A(2,3)代入y=$\frac{m}{x}$,得m = 6.
∴k的值为$\frac{1}{2}$,m的值为6.
(2)当x = 0时,y = 2,
∴B(0,2).
∵P(a,0)为x轴上的一动点，
∴PC=|a + 4|.
∴$S_{\triangle CBP}=\frac{1}{2}PC\cdot OB=\frac{1}{2}×|a + 4|×2=|a + 4|$,$S_{\triangle CAP}=\frac{1}{2}PC\cdot y_A=\frac{1}{2}×|a + 4|×3=\frac{3}{2}|a + 4|$.
∵$S_{\triangle CAP}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle CBP}$,
∴$\frac{3}{2}|a + 4| = 3+|a + 4|$.
∴a + 4 = 6或a + 4=-6.
∴a = 2或a=-10.

如图，在平面直角坐标系中，矩形$OABC$的两边$OC$，$OA$分别在坐标轴上，且$OA = 2$，$OC = 4$，连接$OB$. 反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$的图象经过线段$OB$的中点$D$，并与$AB$，$BC$分别交于点$E$，$F$. 一次函数$y = k_2x + b$的图象经过$E$，$F$两点.
(1)分别求出一次函数和反比例函数的函数解析式；
(2)点$P$是$x$轴上的一动点，当$PE + PF$的值最小时，求点$P$的坐标.

答案：
解:
(1)
∵四边形OABC为矩形，OA = BC = 2,OC = 4,
∴B(4,2).
由中点坐标公式，可得点D的坐标为(2,1),
∵反比例函数y=$\frac{k_1}{x}$(x＞0)的图象经过线段OB的中点D,
∴k1=xy = 2×1 = 2.
故反比例函数的函数解析式为y=$\frac{2}{x}$(x＞0).
令y = 2,则x = 1;令x = 4,则y=$\frac{1}{2}$.
故点E(1,2),F(4,$\frac{1}{2}$).
把E,F的坐标代入直线EF的解析式y = k2x + b,得$\begin{cases}k_2 + b = 2\\4k_2 + b=\frac{1}{2}\end{cases}$,
解得$\begin{cases}k_2=-\frac{1}{2}\\b=\frac{5}{2}\end{cases}$.
故一次函数的解析式为y=$-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$.
(2)如图,作点E关于x轴的对称点E',连接E'F交x轴于点P,连接PE,则此时PE + PF的值最小.

由E的坐标,得对称点E'(1,-2),
设直线E'F的解析式为y = mx + n,代入点E',F的坐标,得$\begin{cases}m + n=-2\\4m + n=\frac{1}{2}\end{cases}$,
解得$\begin{cases}m=\frac{5}{6}\\n=-\frac{17}{6}\end{cases}$.
则直线E'F的解析式为y=$\frac{5}{6}x-\frac{17}{6}$.
令y = 0,则x=$\frac{17}{5}$.
∴点P的坐标为($\frac{17}{5}$,0).