《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 复习：(1)用10m长的绳子围成一个矩形，矩形的一边长为y(单位：m)，随着另一边长x(单位：m)的变化而变化，则y与x之间的关系式表示为y = 5 - x.
(2)一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
(3)一般地，形如y=kx + b，(k，b是常数，且k≠0)的函数叫做一次函数，当b=0时，即y=kx，叫做正比例函数.

答案：
(1) $ y = 5 - x $
(2) 两 唯一
(3) $ kx + b $ $ \neq $ $ kx $

2. (1)如图，设正方体的棱长为x，表面积为y，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们之间的关系式可以表示为$ y = 6x^{2} $；
(2)n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n的关系式为$ m = \frac{1}{2}n^{2} - \frac{1}{2}n $.
一般地，形如y=$ ax^{2} + bx + c $(a，b，c是常数，a$\neq$0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

答案：
(1) $ y = 6x^{2} $
(2) $ m = \frac{1}{2}n^{2} - \frac{1}{2}n $ $ ax^{2} + bx + c $ $ \neq $ 二次项系数 一次项系数 常数项

【例1】下列函数中，是二次函数的是 (B)
A. $ y = - 4 x + 5 $
B. $ y = x ( x - 3 ) $
C. $ y = ( x + 4 ) ^ { 2 } - x ^ { 2 } $
D. $ y = \frac { 1 } { x ^ { 2 } } $

答案： B

【变式1】在下列函数关系中，不是二次函数的是 (D)
A. $ y = 6 x ^ { 2 } $
B. $ y = 1 - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } $
C. $ y = x ( x - 2 ) $
D. $ y = 2 x ^ { 2 } + x ^ { 3 } $

答案： D

【例2】(多维原创)若函数$ y = ( m - 1 ) x ^ { n } - 3 x + 4 $是二次函数，则$ m \neq $________，$ n = $________.
【变式2】已知函数$ y = ( m + 3 ) x ^ { 2 } + 1 $是二次函数，则m的取值范围为 ( )
A. $ m ＞ - 3 $
B. $ m ＜ - 3 $
C. $ m \neq - 3 $
D. 任意实数

答案： 【例2】1 2 【变式2】C

【例3】(1)函数$ y = 3 x ^ { 2 } + x - 2 $中自变量的取值范围是________.
(2)函数$ y = \sqrt { x - 1 } $中自变量x的取值范围是 ( )
A. $ x \geq 1 $
B. $ x \geq 0 $
C. $ x \leq 0 $
D. $ x \leq 1 $

答案：
(1) $ x $ 为全体实数
(2) A