《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例2】如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA₁B₁.

(1)OA₁=____，∠AOB₁=____；
(2)连接AA₁. 求证：四边形OAA₁B₁是平行四边形.

答案： [例2]解:
(1)6　135°
(2)证明:
∵$\angle AOA_{1}=\angle OA_{1}B_{1}=90^{\circ}$，
∴$OA// A_{1}B_{1}$.
∵$OA = AB = A_{1}B_{1}$，
∴四边形$OAA_{1}B_{1}$是平行四边形.

1. 如图，在△ABC中，∠ACB=3∠BAC=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到AB上方，使DE//AB，连接CE.
(1)判断△ACE的形状，并证明；
(2)作BF⊥AD于点F. 求证：BF=CE.

答案：
1. 解:
(1)$\triangle ACE$是等边三角形.
　证明如下:
∵$\angle ACB = 3\angle BAC = 90^{\circ}$，
∴$\angle BAC = 30^{\circ}$.
∵将$\triangle ABC$绕点A逆时针旋转，
∴$AE = AC$，$\angle AED = 90^{\circ}$.
∵$DE// AB$，
∴$\angle AED+\angle BAE = 180^{\circ}$.
∴$\angle BAE = 90^{\circ}$.
∴$\angle CAE = 60^{\circ}$.
∴$\triangle ACE$是等边三角形.
(2)证明:如图，作$BF\perp AD$于点F.
　　　　　
∵将$\triangle ABC$绕点A逆时针旋转，
∴$\angle EAC = 60^{\circ}=\angle DAB$.
∴$\angle DAB=\angle ABC$.
　又
∵$\angle AFB=\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = AB$，
∴$\triangle ABC\cong\triangle BAF$.
∴$BF = AC$.
∵$\triangle ACE$是等边三角形，
∴$AC = EC$.
∴$BF = EC$.

2. 如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上. 延长AD交FG于点H.
(1)求证：△EDC≌△HFE；
(2)若∠BCE=60°，连接BE，CH. 求证：四边形BEHC是菱形.

答案： 2. 证明:
(1)
∵矩形$FECG$由矩形$ABCD$旋转得到，
∴$FE = AB = DC$，$\angle F=\angle EDC = 90^{\circ}$，
　$FH// EC$.
∴$\angle FHE=\angle CED$.
　在$\triangle EDC$和$\triangle HFE$中，
　$\begin{cases}\angle EDC=\angle F,\\\angle CED=\angle EHF,\\DC = FE,\end{cases}$
∴$\triangle EDC\cong\triangle HFE(AAS)$.
(2)由
(1)，得$\triangle EDC\cong\triangle HFE$，
∴$EH = EC$.
∵矩形$FECG$由矩形$ABCD$旋转得到，
∴$EH = EC = BC$，$EH// BC$.
∴四边形$BEHC$为平行四边形.
∵$\angle BCE = 60^{\circ}$，$EC = BC$，
∴$\triangle BCE$是等边三角形.
∴$BE = BC$.
∴四边形$BEHC$是菱形.