《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 一次函数$y = kx + b$的图象如图所示.
(1)当$x =$____时，$y = 0$；
(2)当$x$____时，$y ＜ 0$；
(3)当$x$____时，$y ＞ 0$.

答案：
(1) -2
(2) ＜ -2
(3) ＞ -2

2. 如图，直线$y = x + m$和直线$y = ax + b$相交于点$P$，则不等式$x + m \geq ax + b$的解集是( )
A. $x \geq 3$
B. $x \geq 4$
C. $x \leq 3$
D. $x \leq 4$

答案： A

【例1】如图，抛物线$y = ax^2 + bx + 3$的对称轴为直线$x = 1$，与$x$轴的一个交点为$A(-1,0)$.
(1)点$B$的坐标为____；
(2)当$x =$____时，$y = 0$；
(3)当$x$满足____时，$y ＞ 0$；
(4)当$x$满足____时，$y \leq 0$.

答案：
(1) (3,0)
(2) -1或3
(3) -1 ＜ x ＜ 3
(4) x ≤ -1或x ≥ 3

【变式1】已知二次函数$y = x^2 - 4x - 12$的图象如图所示.
(1)该抛物线的对称轴是____；
(2)当$x =$____时，$y = 0$；
(3)当____时，$y ＞ 0$；
(4)当____时，$y \leq 0$.

答案：
(1) 直线x = 2
(2) -2或6
(3) x ＜ -2或x ＞ 6
(4) -2 ≤ x ≤ 6

【例2】如图，二次函数$y_1 = x^2 + 2x$与一次函数$y_2 = x + 2$的图象相交于$(-2,0)$，$(1,3)$两点，观察图象回答下列问题：
(1)当$x =$____时，$y_1 = y_2$；
(2)当$x$满足____时，$y_1 ＞ y_2$.

答案：
(1) -2或1
(2) x ＞ 1或x ＜ -2

【变式2】直线$y_1 = x + 1$与抛物线$y_2 = -x^2 + 3$交于$A(1,2)$，$B(-2,-1)$两点.
(1)当$y_1 = y_2$时，$x =$____；
(2)当$y_1 ＜ y_2$时，$x$的取值范围是____；
(3)不等式$x + 1 \geq -x^2 + 3$的解集为____.

答案：
(1) -2或1
(2) -2 ＜ x ＜ 1
(3) x ≥ 1或x ≤ -2

【例3】求抛物线$y = x^2 - 2x$和直线$y = -3x + 2$的交点坐标.

答案： 解：联立两个函数的解析式，则有
$\begin{cases}y = x^2 - 2x, \\y = -3x + 2\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x = 1, \\y = -1\end{cases}$
或
$\begin{cases}x = -2, \\y = 8\end{cases}$
∴抛物线y = x² - 2x与直线y = -3x + 2的交点坐标是(1,-1),(-2,8).

【变式3】求抛物线$y = -x^2 + 4x + 5$和直线$y = x + 1$的交点坐标.

答案： 解：联立方程，
得
$\begin{cases}y = -x^2 + 4x + 5, \\y = x + 1\end{cases}$
整理，得x² - 3x - 4 = 0，
解得x₁ = 4，x₂ = -1.
∴抛物线y = -x² + 4x + 5和直线y = x + 1的交点坐标为(4,5)和(-1,0).