《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【变式2】如图，在平面直角坐标系中，画出△ABC关于原点O中心对称的△A'B'C'，并写出点C和点C'的坐标.

答案：
解:如图所示.点$C(4,3)$，点$C'(-4,-3)$.

1. 如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A₁B₁C₁关于点E成中心对称，则对称中心E的坐标是 (A)
A. (3,-1)
B. (0,0)
C. (2,-1)
D. (-1,3)

答案： A

2. 下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有 (C)
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组

答案： C

3. (生活情境)如图1是幼儿园里的一个滑梯，图2是该滑梯的侧面示意图，现在在滑梯侧面设计一个安全标语海报(阴影部分). 已知点O是曲线AC的对称中心，点A的对称点是点C. 若AB⊥BC，AB=BC=4m，则海报的面积为______m².

8

答案： 8

4. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上.
(1)画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A₁B₁C₁；
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A₂B₂C₂，画出△A₂B₂C₂；
(3)设点P为x轴上的一个动点，当PA+PC取得最小值时，点P的坐标为______.

答案：
解:
(1)如图所示.
(2)如图所示.
(3)$(2,0)$

5. (易错)如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕边CB的中点D逆时针旋转180°，点E到点E'的位置. 若∠B=30°，请判断四边形ACE'E的形状并证明.

答案： 解:四边形$ACE'E$是菱形.
证明如下:
∵DE是$\triangle ABC$的中位线,
$\therefore DE// AC,DE=\frac {1}{2}AC$.
由旋转,得$DE=DE'$.
$\therefore EE'=2DE=AC$.
$\therefore$四边形$ACE'E$是平行四边形.
$\because ∠ACB=90^{\circ },∠B=30^{\circ }$,
$\therefore AC=\frac {1}{2}AB$.
∵DE是$\triangle ABC$的中位线,
$\therefore AE=\frac {1}{2}AB$.
$\therefore AC=AE$.
$\therefore$平行四边形$ACE'E$是菱形.

6. 如图，点E是Rt△ABC的斜边BC上的一点，作点E关于AB，AC的对称点F，G，连接FG.
(1)试说明点F和点G关于点A中心对称；
(2)若AB=6，AC=8，求FG的最小值.

答案：
解:
(1)由轴对称的性质，得$AF=AE=AG$，$EF⊥AB$，$EG⊥AC$，
$\therefore ∠FAB=∠BAE$，$∠EAC=∠CAG$.
$\therefore ∠FAG=2∠BAE+2∠EAC=2∠BAC=180^{\circ }$.
$\therefore$点A，F，G三点共线.
$\therefore$点F和点G关于点A中心对称.
(2)$\because \triangle ABC$是直角三角形，$AB=6$，$AC=8$，
$\therefore BC=\sqrt {AB^{2}+AC^{2}}=10$.
$\therefore \triangle ABC$的边BC上的高为$\frac {6×8}{10}=4.8$.
如图，连接AE.

$\because EF⊥AB$，$EG⊥AC$，
$\therefore ∠BAC+∠FEG=180^{\circ }$.
$\therefore ∠FEG=90^{\circ }$.
$\therefore FG=2AE\geq2×4.8=9.6$.
$\therefore FG$的最小值为9.6.