《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例3】如图,$\triangle ABC$是等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,$∠ADE=60^{\circ}$.
(1)求证:$\triangle ABD\backsim \triangle DCE$;
(2)若$AB=3$,$EC=\frac {2}{3}$,求DC的长.

答案： 解：
(1)证明：
∵$△ABC$ 是等边三角形，
∴$∠B = ∠C = 60^{\circ}$，$AB = AC$。
∵$∠B + ∠BAD = ∠ADE + ∠CDE$，$∠B = ∠ADE = 60^{\circ}$，
∴$∠BAD = ∠CDE$。
∴$△ABD∽△DCE$。
(2)由
(1)得 $△ABD∽△DCE$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{DC}$。
设 $CD = x$，则 $BD = 3 - x$。
∴$\frac{3 - x}{3}=\frac{\frac{2}{3}}{x}$，
解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。
经检验，$x = 1$ 或 $x = 2$ 是原分式方程的解。
∴$DC = 1$ 或 $DC = 2$。

【变式3】如图,在正方形ABCD中,点E,F,G分别在边AB,BC,CD上,且$∠EFG=90^{\circ}$.
(1)求证:$\triangle EBF\backsim \triangle FCG$;
(2)若$BC=10$,$CG=3$,$BE=8$,求FC的长.

答案： 解：
(1)证明：
∵四边形 $ABCD$ 为正方形，
∴$∠B = ∠C = 90^{\circ}$。
∴$∠BEF + ∠BFE = 90^{\circ}$。
∵$∠EFG = 90^{\circ}$，
∴$∠BFE + ∠CFG = 90^{\circ}$，
∴$∠BEF = ∠CFG$。
∵$∠B = ∠C = 90^{\circ}$，
∴$△EBF∽△FCG$。
(2)由
(1)，得 $△EBF∽△FCG$，
∴$\frac{BE}{FC}=\frac{BF}{CG}$，即 $\frac{8}{FC}=\frac{10 - CF}{3}$，
解得 $FC = 4$ 或 $FC = 6$。
∴$FC$ 的长为 $4$ 或 $6$。

【例4】如图,AB是$\odot O$的直径,PB与$\odot O$相切于点B,连接PA交$\odot O$于点C,连接BC.求证:
(1)$PB^{2}=PC\cdot PA$;
(2)$BC^{2}=PC\cdot AC$.

答案： 证明：
(1)
∵$AB$ 是 $⊙O$ 的直径，$PB$ 与 $⊙O$ 相切于点 $B$，
∴$∠PCB = ∠ABP = 90^{\circ}$。
∵$∠PCB = ∠ABP = 90^{\circ}$，$∠P = ∠P$，
∴$△ABP∽△BCP$。
∴$\frac{PB}{PC}=\frac{PA}{PB}$。
∴$PB^{2}=PC·PA$。
(2)
∵$△ABP∽△BCP$，
∴$∠BAC = ∠CBP$。
∵$∠ACB = ∠BCP = 90^{\circ}$，
∴$△ACB∽△BCP$。
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{CP}$。
∴$AC·CP = BC^{2}$，
即 $BC^{2}=PC·AC$。

【例5】如图,在$\triangle ABC$与$\triangle ADE$中,$\frac {AD}{AB}=\frac {DE}{BC}=\frac {AE}{AC}$.求证:(1)$∠BAD=∠CAE$;
(2)$AD\cdot EC=AE\cdot DB$.

答案： 证明：
(1)
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
∴$△ADE∽△ABC$。
∴$∠DAE = ∠BAC$。
∴$∠BAD = ∠CAE$。
(2)
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$∠BAD = ∠CAE$，
∴$△BAD∽△CAE$。
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{DB}{EC}$。
∴$AD·EC = AE·DB$。