《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

由于题目图片无法直接查看，根据答案内容推测题目结构后，填入答案如下（注：实际应根据图片中空格位置对应填入）：
一、预习导学
等于 $OC = 3$，且 $OC \perp AB$
外端垂直
$OA$ 是 $\odot O$ 的半径，$OA \perp l$

答案： 等于 $OC = 3$，且 $OC \perp AB$
外端 垂直
$OA$ 是 $\odot O$ 的半径，$OA \perp l$

【例1】(人教教材母题)如图，$AB$是$\odot O$的直径，$\angle ABT = 45^{\circ}$，$AT = AB$. 求证：$AT$是$\odot O$的切线.

答案： 证明：$\because \angle ABT = 45^{\circ}$，$AT = AB$，
$\therefore \angle ATB = \angle ABT = 45^{\circ}$．
$\therefore \angle BAT = 90^{\circ}$．
$\therefore AT$ 是 $\odot O$ 的切线．

【变式1】如图，线段$AB$经过圆心$O$，交$\odot O$于点$A$，$C$，$AD$为$\odot O$的弦，连接$BD$，$\angle BAD = \angle B = 30^{\circ}$. 求证：$BD$是$\odot O$的切线.

答案：
证明：如图，连接 $OD$．

$\because OA = OD$，$\angle A = \angle ABD = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle A = \angle ADO = 30^{\circ}$．
$\therefore \angle DOB = \angle A + \angle ADO = 60^{\circ}$．
$\therefore \angle ODB = 180^{\circ} - \angle DOB - \angle B = 90^{\circ}$．
$\because OD$ 是 $\odot O$ 的半径，
$\therefore BD$ 是 $\odot O$ 的切线．

【例2】如图，$AC$是$\odot O$的直径，点$D$在$\odot O$上，过点$D$的直线$BD$与$AC$的延长线交于点$B$，$AE \perp BD$，垂足为点$E$，$AD$平分$\angle BAE$. 求证：$BD$是$\odot O$的切线.

答案：
证明：如图，连接 $OD$．

$\because OA = OD$，$\therefore \angle OAD = \angle ODA$．
$\because AD$ 平分 $\angle BAE$，
$\therefore \angle EAD = \angle OAD$．
$\therefore \angle EAD = \angle ODA$．
$\therefore AE // OD$．
$\therefore \angle ODB = \angle AED$．
$\because AE \perp BD$，
$\therefore \angle AED = 90^{\circ}$．
$\therefore \angle ODB = 90^{\circ}$．
$\because OD$ 是 $\odot O$ 的半径，
$\therefore BD$ 是 $\odot O$ 的切线．

【变式2】如图，以$BC$为直径的$\odot O$交$\triangle ABC$的边$AB$于点$D$，$DE \perp AC$于点$E$，$AC = BC$. 求证：$DE$是$\odot O$的切线.

答案：
证明：如图，连接 $OD$．

$\because AC = BC$，
$\therefore \angle B = \angle A$．
$\because OB = OD$，
$\therefore \angle B = \angle ODB$．
$\therefore \angle A = \angle ODB$．
$\therefore OD // AC$．
$\because DE \perp AC$，
$\therefore \angle DEA = 90^{\circ}$．
$\therefore \angle ODE = \angle DEA = 90^{\circ}$．
$\therefore OD \perp DE$．
又 $\because OD$ 是 $\odot O$ 的半径，
$\therefore DE$ 是 $\odot O$ 的切线．