《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

8.如图,$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆,AC为直径,弦$BD=BA$,$BE\perp DC$交DC的延长线于点E.
求证:(1)$\angle 1=\angle BAD$;
(2)BE是$\odot O$的切线.

答案： 【解析】：
(1) 因为$BD = BA$，根据等腰三角形的性质，等边对等角，所以$\angle BDA=\angle BAD$。
又因为同弧所对的圆周角相等，$\angle 1$和$\angle BDA$都是弧$AB$所对的圆周角，所以$\angle 1=\angle BDA$。
通过等量代换，可得$\angle 1=\angle BAD$。
(2) 连接$OB$，因为$OB = OA$，所以$\angle OBA=\angle OAB$。
又因为$\angle 1=\angle BAD$，所以$\angle 1=\angle OBA$，则$OB// DE$。
因为$BE\perp DC$，即$\angle BED = 90^{\circ}$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$\angle OBE+\angle BED = 180^{\circ}$，所以$\angle OBE = 90^{\circ}$，即$OB\perp BE$。
又因为$OB$是$\odot O$的半径，根据切线的判定定理，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，所以$BE$是$\odot O$的切线。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 证明见上述解析。

9.图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥(如图2),制作这种外包装用如图3所示的等腰三角形材料,其中$AB=AC$,$AD\perp BC$,将扇形EAF围成圆锥时,AE,AF恰好重合,已知圆锥的底面圆直径$ED=6cm$,母线长$AD=12cm$.
(1)求这种加工材料的顶角$\angle BAC$的大小;
(2)求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积;(结果保留$\pi$)
(3)如图4,用长度为20m的绳子围成扇形AEF,设半径为R,当R取多少时,扇形AEF的面积最大,最大为多少?

答案： 【解析】：
### $(1)$求$\angle BAC$的大小
已知圆锥底面圆直径$ED = 6cm$，根据圆的周长公式$C=\pi d$（$d$为直径），可得底面圆周长$C=\pi×6 = 6\pi cm$。
设$\angle BAC=n^{\circ}$，因为扇形$EAF$的弧长等于圆锥底面圆的周长，根据扇形弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径，这里$r = AD = 12cm$），则有$\frac{n\pi×12}{180}=6\pi$。
两边同时除以$\pi$得$\frac{n×12}{180}=6$，解得$n = 90$，即$\angle BAC = 90^{\circ}$。
### $(2)$求阴影部分面积
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD$，因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$AD\perp BC$，所以$BC = 2AD = 24cm$（等腰直角三角形三线合一），则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×24×12=144cm^{2}$。
根据扇形面积公式$S_{扇形EAF}=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n = 90^{\circ}$，$r = 12cm$），可得$S_{扇形EAF}=\frac{90\pi×12^{2}}{360}=36\pi cm^{2}$。
所以阴影部分面积$S = S_{\triangle ABC}-S_{扇形EAF}=144 - 36\pi cm^{2}$。
### $(3)$求扇形面积最大时$R$的值和最大面积
已知扇形弧长$l = 20 - 2R$，根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$（$l$为弧长，$R$为半径），则$S=\frac{1}{2}(20 - 2R)R$。
展开得$S=-R^{2}+10R$，这是一个二次函数，对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a=-1$，$b = 10$，$c = 0$），其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。
所以对称轴$R=-\frac{10}{2×(-1)} = 5$，因为$a=-1\lt0$，二次函数图象开口向下，所以当$R = 5m$时，$S$有最大值。
把$R = 5$代入$S=-R^{2}+10R$，得$S=-5^{2}+10×5=25m^{2}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{90^{\circ}}$；
$(2)$$\boldsymbol{144 - 36\pi cm^{2}}$；
$(3)$当$\boldsymbol{R = 5m}$时，扇形$AEF$面积最大，最大面积为$\boldsymbol{25m^{2}}$。

10.如图,在四边形ABCD中,$AD// BC$,$\angle BAD=90^{\circ}$,$CB=CD$,连接BD,以点B为圆心,BA长为半径作$\odot B$,交BD于点E.
(1)试判断CD与$\odot B$的位置关系,并说明理由;
(2)若$AB=2\sqrt{3}$,$\angle BCD=60^{\circ}$,求图中阴影部分的面积.

答案： 【解析】：
(1) 过点$B$作$BF\perp CD$于点$F$。
因为$AD// BC$，所以$\angle ADB = \angle DBC$。
又因为$CB = CD$，所以$\angle DBC = \angle BDC$，则$\angle ADB = \angle BDC$。
因为$\angle BAD = 90^{\circ}$，$BF\perp CD$，$BA = BE$（$\odot B$半径），根据角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），可得$BF = BA$。
因为$BF$是点$B$到$CD$的距离且$BF = BA$（$\odot B$半径），所以$CD$与$\odot B$相切。
(2) 因为$CB = CD$，$\angle BCD = 60^{\circ}$，所以$\triangle BCD$是等边三角形，则$\angle BDC = 60^{\circ}$。
由
(1)知$\angle ADB = \angle BDC = 60^{\circ}$，在$Rt\triangle ABD$中，$\angle BAD = 90^{\circ}$，$AB = 2\sqrt{3}$，$\tan\angle ADB=\frac{AB}{AD}$，即$\tan60^{\circ}=\frac{2\sqrt{3}}{AD}$，解得$AD = 2$。
${S}_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AB× AD=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× 2 = 2\sqrt{3}$。
$\angle ABE = 180^{\circ}-\angle ABD - \angle DBC$，$\angle ABD = 30^{\circ}$，$\angle DBC = 60^{\circ}$，所以$\angle ABE = 90^{\circ}$。
扇形$ABE$的面积${S}_{扇形ABE}=\frac{90\pi×(2\sqrt{3})^{2}}{360}= 3\pi$。
所以阴影部分面积$S = {S}_{\triangle ABD}-{S}_{扇形ABE}=2\sqrt{3}-3\pi$。
【答案】：
(1) $CD$与$\odot B$相切，理由见上述解析。
(2) $2\sqrt{3}-3\pi$。