《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例4】若抛物线$y = x^{2} - 2x + m - 1$与$x$轴有交点，求$m$的取值范围。

答案： 解：
∵抛物线 $ y = x ^ { 2 } - 2 x + m - 1 $ 与 $ x $ 轴有交点，
∴方程 $ x ^ { 2 } - 2 x + m - 1 = 0 $ 有两个实数根。
∴$ \Delta = ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 ( m - 1 ) \geq 0 $，解得 $ m \leq 2 $。
∴$ m $ 的取值范围为 $ m \leq 2 $。

【变式4】(1)若抛物线$y = (m - 1)x^{2} - 2x + 1$与$x$轴有交点，则$m$的取值范围为$ m \leq 2 $ 且 $ m \neq 1 $；
(2)已知抛物线$y = -4x^{2} + 2x + m$与$x$轴没有交点，求$m$的取值范围。
解：由题意，得 $ 2 ^ { 2 } - 4 × ( - 4 ) × m ＜ 0 $，解得 $ m ＜ - \frac { 1 } { 4 } $。

答案：
(1)$ m \leq 2 $ 且 $ m \neq 1 $
(2)解：由题意，得 $ 2 ^ { 2 } - 4 × ( - 4 ) × m ＜ 0 $，解得 $ m ＜ - \frac { 1 } { 4 } $。

课堂总结：二次函数与一元二次方程的关系
|$\Delta = b^{2} - 4ac$|方程$ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$|抛物线$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$|
|----|----|----|
|$\Delta ＞ 0$|方程有两个不相等的实数根|抛物线与$x$轴有2个交点|
|$\Delta = 0$|方程有两个相等的实数根|抛物线与$x$轴有1个交点|
|$\Delta ＜ 0$|方程没有实数根|抛物线与$x$轴有0个交点|
|$\Delta \geq 0$|方程有实数根|抛物线与$x$轴有交点|
(1)抛物线$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$与$x$轴的交点为$(m,0)$，$(n,0) \Leftrightarrow$方程$ax^{2} + bx + c = 0$的解为$ x _ { 1 } = m $，$ x _ { 2 } = n $；
(2)抛物线$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$与$y$轴有且只有1个交点为$ ( 0, c ) $。

答案： (从上到下，从左到右)
2 1 0 有实数根 有
(1)$ x _ { 1 } = m $，$ x _ { 2 } = n $
(2)$ ( 0, c ) $

1. 二次函数$y = ax^{2} + bx + 16$的图象与$x$轴只有一个交点$(-4,0)$，则方程$ax^{2} + bx = -16$的根为-4。

答案： -4

2. 抛物线$y = -x^{2} + 6x - 4$与坐标轴的公共点个数为3。

答案： 3

3. 若函数$y = (m - 1)x^{2} - 6x + \frac{3}{2}m$的图象与$x$轴有且只有一个交点，则$m$的值为(C)
A. -2或3
B. -2或-3
C. 1或-2或3
D. 1或-2或-3

答案： C

4. 已知抛物线$y = x^{2} - 2mx + m^{2} + 1$($m$是常数)。
(1)求证：不论$m$为何值，该抛物线与$x$轴没有公共点；
(2)把该抛物线沿$y$轴向下平移$a$个单位长度后，得到的函数图象与$x$轴只有一个公共点，求$a$的值。

答案： 解：
(1)证明：
∵$ \Delta = ( - 2 m ) ^ { 2 } - 4 × 1 × ( m ^ { 2 } + 1 ) = 4 m ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } - 4 = - 4 ＜ 0 $，
∴方程 $ x ^ { 2 } - 2 m x + m ^ { 2 } + 1 = 0 $ 没有实数解。
即不论 $ m $ 为何值，函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 m x + m ^ { 2 } + 1 $ 的图象与 $ x $ 轴没有公共点。
(2)$ y = x ^ { 2 } - 2 m x + m ^ { 2 } + 1 = ( x - m ) ^ { 2 } + 1 $。
把函数 $ y = ( x - m ) ^ { 2 } + 1 $ 的图象沿 $ y $ 轴向下平移 1 个单位长度后，得到函数 $ y = ( x - m ) ^ { 2 } $ 的图象，它的顶点坐标是 $ ( m, 0 ) $，则这个函数的图象与 $ x $ 轴只有一个公共点，即把函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 m x + m ^ { 2 } + 1 $ 的图象沿 $ y $ 轴向下平移 1 个单位长度后，得到的函数的图象与 $ x $ 轴只有一个公共点。故 $ a = 1 $。