《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例 1】如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $3$，点 $E$，$F$ 分别是边 $AB$，$BC$ 上的点，且 $\angle EDF = 45^{\circ}$。将 $\triangle DAE$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$，得到 $\triangle DCM$。
(1) 求证：$EF = FM$；
(2) 当 $AE = 1$ 时，求 $EF$ 的长。


(1)证明：∵△DAE 逆时针旋转 90°得到△DCM，
∴DE = DM，∠EDM = 90°．
∴∠EDF + ∠FDM = 90°．
∵∠EDF = 45°，
∴∠FDM = ∠EDF = 45°，
∵∠FCM = ∠FCD + ∠DCM = 180°．
∴点 F，C，M 三点共线．
在△DEF 和△DMF 中，
{DE = DM，
∠EDF = ∠MDF，
DF = DF，
∴△DEF ≌ △DMF(SAS)．
∴EF = MF．
(2)设 EF = MF = x．
∵AE = CM = 1，且 BC = 3，
∴BM = BC + CM = 3 + 1 = 4．
∴BF = BM - MF = BM - EF = 4 - x．
∵EB = AB - AE = 3 - 1 = 2，
∴在 Rt△EBF 中，EB² + BF² = EF²，
即 2² + (4 - x)² = x²，
解得 x = 5/2，则 EF = 5/2．

答案： 解：
(1)证明：
∵△DAE 逆时针旋转 90°得到△DCM，
∴DE = DM，∠EDM = 90°．
∴∠EDF + ∠FDM = 90°．
∵∠EDF = 45°，
∴∠FDM = ∠EDF = 45°，
∵∠FCM = ∠FCD + ∠DCM = 180°．
∴点 F，C，M 三点共线．
在△DEF 和△DMF 中，
{DE = DM，
∠EDF = ∠MDF，
DF = DF，
∴△DEF ≌ △DMF(SAS)．
∴EF = MF．
(2)设 EF = MF = x．
∵AE = CM = 1，且 BC = 3，
∴BM = BC + CM = 3 + 1 = 4．
∴BF = BM - MF = BM - EF = 4 - x．
∵EB = AB - AE = 3 - 1 = 2，
∴在 Rt△EBF 中，EB² + BF² = EF²，
即 2² + (4 - x)² = x²，
解得 x = 5/2，则 EF = 5/2．

【变式 1】如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AB = AC = 2$，点 $D$，$E$ 是斜边 $BC$ 上的两点，且 $\angle DAE = 45^{\circ}$，将 $\triangle ADC$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 后，得到 $\triangle AFB$，连接 $EF$。下列结论：① $DE = EF$；② $EA$ 平分 $\angle CEF$；③ $BE^{2} + DC^{2} = DE^{2}$；④ 四边形 $AFBD$ 的面积为 $2\sqrt{2}$。
其中正确的是__________。（填序号）

答案： ①②③

【变式 2】如图，$\triangle ABC$ 是边长为 $3$ 的等边三角形，$\triangle BDC$ 是等腰三角形，且 $\angle BDC = 120^{\circ}$。以点 $D$ 为顶点作一个 $60^{\circ}$ 角，使其两边分别交 $AB$ 于点 $M$，交 $AC$ 于点 $N$，连接 $MN$，则 $\triangle AMN$ 的周长为__________。

答案： 6