《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

一、预习导学
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
∵$ l $ 是 $ \odot O $ 的切线， $ OA $ 是 $ \odot O $ 的半径，
∴$ OA \perp l $.
如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=20°，则∠AOB=$ 70^{\circ} $.

答案： 垂直 $ l $ 是 $ \odot O $ 的切线， $ OA $ 是 $ \odot O $ 的半径 $ OA \perp l $ $ 70^{\circ} $

【例1】如图，点P为⊙O外的一点，PA切⊙O于点A，若PA=3，∠APO=45°，则⊙O的半径长为3.

答案： 3

【变式1】如图，AB是⊙O的切线，切点为点A，半径OA=2，∠AOB=60°，则∠B=30°，OB=4.

答案： $ 30^{\circ} $ 4

【例2】如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB，⊙O的直径为6cm，AB=8cm，求OA的长.

答案：
解：如图，连接 $ OC $。
　　　　　
$ \because AB $ 切 $ \odot O $ 于点 $ C $， $ OC $ 为 $ \odot O $ 的半径，
$ \therefore OC \perp AB $。
$ \therefore \angle ACO = 90^{\circ} $。
$ \because OA = OB $，
$ \therefore AC = BC = \frac{1}{2}AB = 4 $（cm）。
$ \because \odot O $ 的直径为 6 cm，
$ \therefore OC = 3 $ cm。
在 $ \text{Rt} \triangle AOC $ 中， $ \because AC = 4 $ cm， $ OC = 3 $ cm，
$ \therefore OA = \sqrt{CO^{2} + AC^{2}} = 5 $（cm）。

【变式2】如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，PO的延长线交⊙O于点B，若∠B=32°，求∠P的度数.

答案：
解：如图，连接 $ OA $。
　　　
$ \because PA $ 是 $ \odot O $ 的切线， $ OA $ 为 $ \odot O $ 的半径，
$ \therefore OA \perp AP $。
$ \therefore \angle PAO = 90^{\circ} $。
$ \because OA = OB $，
$ \therefore \angle B = \angle OAB $。
$ \because \angle B = 32^{\circ} $， $ \angle AOP = \angle B + \angle OAB $，
$ \therefore \angle AOP = 64^{\circ} $。
$ \therefore \angle P = 90^{\circ} - 64^{\circ} = 26^{\circ} $。

【例3】如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D. 求证：AC平分∠DAB.

答案：
证明：如图，连接 $ OC $。
　　　　　
$ \because CD $ 为 $ \odot O $ 的切线， $ OC $ 为 $ \odot O $ 的半径，
$ \therefore OC \perp CD $。
$ \because AD \perp CD $，
$ \therefore OC // AD $。
$ \therefore \angle 1 = \angle 2 $。
$ \because OC = OA $，
$ \therefore \angle 1 = \angle 3 $。
$ \therefore \angle 2 = \angle 3 $。
$ \therefore AC $ 平分 $ \angle DAB $。

【变式3】(人教教材母题)如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点. 求证：AP=BP.

答案：
证明：如图，连接 $ OP $。
　　　　　　
$ \because $ 大圆的弦 $ AB $ 是小圆的切线，点 $ P $ 为切点， $ OP $ 为小圆的半径，
$ \therefore OP \perp AB $。
$ \because OP $ 过点 $ O $，
$ \therefore AP = BP $。