《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 如图为二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象，则下列说法：
①$a ＞ 0$；
②$2a + b = 0$；
③$a + b + c ＞ 0$；
④当$-1 ＜ x ＜ 3$时，$y ＞ 0$.
其中正确的个数为 (C)

答案： C

2. 如图，用一根60cm的铁丝制作一个“日”字形框架$ABCD$，铁丝恰好全部用完.
(1)若所围成的矩形框架$ABCD$的面积为$144cm^{2}$，则$AB$的长为多少厘米?
(2)矩形框架$ABCD$面积的最大值为____150$cm^{2}$.

解: (1) 设框架的长 $AD$ 为 $x\mathrm{cm}$，则宽 $AB$ 为 $\frac{60-2x}{3}\mathrm{cm}$。依题意，得 $x\cdot\frac{60-2x}{3}$ 的值为 $144$，解得 $x=12$ 或 $x=18$。$\therefore\frac{60-2x}{3}$ 的值为 $12$ 或 $8$。答: $AB$ 的长为 $12\mathrm{cm}$ 或 $8\mathrm{cm}$。

答案： 解:
(1) 设框架的长 $AD$ 为 $x\mathrm{cm}$，则宽 $AB$ 为 $\frac{60-2x}{3}\mathrm{cm}$。依题意，得 $x\cdot\frac{60-2x}{3}$ 的值为 $144$，解得 $x=12$ 或 $x=18$。$\therefore\frac{60-2x}{3}$ 的值为 $12$ 或 $8$。答: $AB$ 的长为 $12\mathrm{cm}$ 或 $8\mathrm{cm}$。
(2) $150$

3. 某文具店购进一批单价为12元的学习用品，规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，商家发现每天的销售量$y$(单位：件)与销售单价$x$(单位：元)满足一次函数关系，且当$x = 15$时，$y = 50$；当$x = 17$时，$y = 30$.
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式；
(2)这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润? 最大利润是多少元?

答案： 解:
(1) 设 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=kx+b(k\neq0)$。依题意，得 $\begin{cases}15k+b=50,\\17k+b=30,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-10,\\b=200.\end{cases}$ $\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=-10x+200$。
(2) 设每天获得的利润为 $w$ 元。由
(1) 可得 $w=(x-12)(-10x+200)=-10x^{2}+320x-2400=-10(x-16)^{2}+160$。$\because12\leq x\leq18$，且 $-10＜0$，$\therefore$ 当 $x=16$ 时，$w$ 有最大值，最大值为 $160$。答: 这种学习用品的销售单价定为 $16$ 元时，每天可获得最大利润，最大利润是 $160$ 元。

4. 如图，抛物线$y = ax^{2}+bx - 4$经过$A(-3,0)$，$B(5,-4)$两点，与$y$轴交于点$C$，连接$AB$，$AC$，$BC$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求证：$AB$平分$\angle CAO$；
(3)抛物线的对称轴上是否存在点$M$，使得$\triangle ABM$是以$AB$为直角边的直角三角形? 若存在，求出点$M$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
解:
(1) 将 $A(-3,0)$，$B(5,-4)$ 代入，得 $\begin{cases}9a-3b-4=0,\\25a+5b-4=-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=\frac{1}{6},\\b=-\frac{5}{6}.\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=\frac{1}{6}x^{2}-\frac{5}{6}x-4$。
(2) 证明: 由题意，得 $AO=3$，$OC=4$，$\therefore AC=5$。如图 1，取点 $D(2,0)$，则 $AD=AC=5$。 $\therefore BD=\sqrt{(5-2)^{2}+(-4-0)^{2}}=5$。$\because C(0,-4)$，$B(5,-4)$，$\therefore BC=5$。$\therefore BD=BC$。又 $\because AB=AB$，$\therefore\triangle ABC\cong\triangle ABD$。$\therefore\angle CAB=\angle BAD$。$\therefore AB$ 平分 $\angle CAO$。
(3) 存在。理由如下: 如图 2，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $E$，交 $BC$ 于点 $F$。抛物线的对称轴为直线 $x=\frac{5}{2}$，则 $AE=\frac{11}{2}$。$\because A(-3,0)$，$B(5,-4)$，$\angle M'AB=90^{\circ}$，$\therefore M'E=2AE=11$。$\therefore M'(\frac{5}{2},11)$。又 $\because BF=\frac{5}{2}$，$\therefore FM=5$。$\therefore M(\frac{5}{2},-9)$。$\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(\frac{5}{2},11)$ 或 $(\frac{5}{2},-9)$。