《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 下列数据分别表示两个三角形的三边长，则两个三角形相似的是(C)
A. 2，4，5与4，9，12
B. 3，5，7与√3，√5，√7
C. 3，2，4与9，12，6
D. 2.5，5，4与0.5，1.1，1.5

答案： 1. C

2. 如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论.

答案： 2. 解: $\triangle ABC\backsim \triangle DEF$. 证明如下:
由图可得 $AB=2,BC=2\sqrt{2}$,
$AC=2\sqrt{5},DE=\sqrt{2},EF=2,DF=\sqrt{10}$,
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\sqrt{2}$.
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle DEF$.

3. 如图，已知AB//DC，点E，F在线段BD上，AB=2DC，BE=2DF. 求证：△ABE∽△CDF.

答案： 3. 证明: $\because AB// DC$,
$\therefore \angle B=\angle D$.
$\because AB=2DC,BE=2DF$,
$\therefore AB:DC=BE:DF=2$.
$\therefore \triangle ABE\backsim \triangle CDF$.

4. 如图，△ABC是等边三角形，点D，E在BC所在的直线上，且AB·AC=BD·CE.
求证：△ABD∽△ECA.

答案： 4. 证明: $\because \triangle ABC$ 是等边三角形,
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=60^{\circ}$.
$\therefore \angle ABD=\angle ACE$.
又 $\because AB\cdot AC=BD\cdot CE$, 即 $\frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CA}$,
$\therefore \triangle ABD\backsim \triangle ECA$.

5. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从点O开始沿OA向点A以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1cm/s的速度移动，当一点运动到终点时，另一点也随之停止. 如果P，Q同时出发，用t(单位：s)表示移动的时间(0＜t＜6).
(1)请用含t的代数式表示：OP=t，OQ=6 - t；
(2)当t为何值时，△POQ与△AOB相似？

解: ①若 $\triangle POQ\backsim \triangle AOB$,则 $\frac{OQ}{OB}=\frac{OP}{OA}$, 即 $\frac{6 - t}{6}=\frac{t}{12}$,解得 $t = 4$;②若 $\triangle POQ\backsim \triangle BOA$,则 $\frac{OQ}{OA}=\frac{OP}{OB}$, 即 $\frac{6 - t}{12}=\frac{t}{6}$,解得 $t = 2$.综上所述当 $t = 4$ 或 $t = 2$ 时, $\triangle POQ$ 与 $\triangle AOB$ 相似.

答案： 5. 解:
(1) $t$ $6 - t$
(2) ①若 $\triangle POQ\backsim \triangle AOB$,
则 $\frac{OQ}{OB}=\frac{OP}{OA}$, 即 $\frac{6 - t}{6}=\frac{t}{12}$,
解得 $t = 4$;
②若 $\triangle POQ\backsim \triangle BOA$,
则 $\frac{OQ}{OA}=\frac{OP}{OB}$, 即 $\frac{6 - t}{12}=\frac{t}{6}$,
解得 $t = 2$.
综上所述当 $t = 4$ 或 $t = 2$ 时, $\triangle POQ$ 与 $\triangle AOB$ 相似.