《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 对于抛物线$y = ax^2 + bx + c$：
(1)$y = 0$，是指____；
(2)$y ＞ 0$，是指函数图象在$x$轴____的部分；
(3)$y ＜ 0$，是指____的部分.

答案：
(1) 函数图象与x轴的交点
(2) 上方
(3) 函数图象在x轴下方

2. 对于两个函数$y_1$，$y_2$：
(1)$y_1 = y_2$，是指$y_1$与$y_2$图象交点；
(2)$y_1 ＞ y_2$，是指$y_1$比$y_2$图象高的部分；
(3)$y_1 ＜ y_2$，是指y₂比y₁图象高的部分.

答案：
(1) 交点
(3) y₂比y₁图象高

3. 抛物线与$x$轴的两个交点为$(x_1,0)$和$(x_2,0)$，则抛物线的对称轴为直线$x =$$\frac{x_1 + x_2}{2}$.

答案： $\frac{x_1 + x_2}{2}$

1. 若抛物线$y = ax^2 + bx + c$与$x$轴的交点坐标是$(-1,0)$，$(5,0)$，则这条抛物线的对称轴是直线( )
A. $x = 1$
B. $x = -1$
C. $x = 5$
D. $x = 2$

答案： D

2. 抛物线$y = ax^2 + bx + c(a ＜ 0)$与$x$轴的一个交点坐标为$(1,0)$，对称轴是直线$x = -1$，其部分图象如图所示，当$y ＜ 0$时，$x$的取值范围是(D)
A. $x ＜ 1$
B. $x ＞ -3$
C. $-3 ＜ x ＜ 1$
D. $x ＜ -3$或$x ＞ 1$

答案： D

3. 如图，二次函数$y_1 = mx^2 + nx$与一次函数$y_2 = ax + b$的图象相交于$A$，$B$两点，观察图象回答下列问题：
(1)当x = -2或x = 2时，$y_1 = y_2$；
(2)当x ≤ -2或x ≥ 2时，$y_1 \geq y_2$；
(3)$y_1 ＞ 0$的解集为x ＜ -2或x ＞ 0.

答案：
(1) x = -2或x = 2
(2) x ≤ -2或x ≥ 2
(3) x ＜ -2或x ＞ 0

4. 已知抛物线$y = x^2 - 4x + m$.
(1)该抛物线的对称轴是直线x = 2；
(2)若该抛物线与$x$轴交于点$A$，$B$，已知$A(-3,0)$，则线段$AB =$10.

答案：
(1) 直线x = 2
(2) 10

5. 已知直线$l:y = kx + 1$与抛物线$y = x^2 - 4x$.
(1)求证：直线$l$与该抛物线总有两个交点；
(2)设直线$l$与该抛物线的两交点为$A$，$B$，点$O$为原点，当$k = -2$时，求$\triangle OAB$的面积.

答案：
解：
(1) 证明：联立
$\begin{cases}y = kx + 1, \\y = x^2 - 4x\end{cases}$
整理，得x² - (4 + k)x - 1 = 0，
∴Δ = (4 + k)² + 4 ＞ 0.
∴直线l与该抛物线总有两个交点.
(2) 当k = -2时，y = -2x + 1.
如图，过点A作AF ⊥ x轴于点F，过点B作BE ⊥ x轴于点E.

∴联立
$\begin{cases}y = x^2 - 4x, \\y = -2x + 1\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x = 1 + \sqrt{2}, \\y = -1 - 2\sqrt{2}\end{cases}$
或
$\begin{cases}x = 1 - \sqrt{2}, \\y = 2\sqrt{2} - 1\end{cases}$
∴A(1 - $\sqrt{2}$, 2$\sqrt{2}$ - 1)，B(1 + $\sqrt{2}$, -1 - 2$\sqrt{2}$).
∴AF = 2$\sqrt{2}$ - 1，BE = 1 + 2$\sqrt{2}$.
易求直线y = -2x + 1与x轴的交点C为($\frac{1}{2}$, 0).
∴OC = $\frac{1}{2}$.
∴S_{△AOB} = S_{△AOC} + S_{△BOC} = $\frac{1}{2}$OC·AF + $\frac{1}{2}$OC·BE = $\frac{1}{2}$OC(AF + BE) = $\frac{1}{2}$ × $\frac{1}{2}$ × (2$\sqrt{2}$ - 1 + 1 + 2$\sqrt{2}$) = $\sqrt{2}$.