《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 已经二次函数 $ y = - 2 ( x - 5 ) ^ { 2 } + 8 $，当 $ x = $5时，$ y $有最大值，为8。

答案： 5 大 8

2. 已知二次函数 $ y = - 2 ( x - 5 ) ^ { 2 } + 8 $，当 $ 6 \leqslant x \leqslant 10 $时，当 $ x = $6时，$ y $有最大值，为6。
注意：二次函数的最值与自变量的取值范围有关。

答案： 6 6

【例 1】(人教教材母题)用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 $ S $随矩形一边长 $ x $的变化而变化。当 $ x $是多少米时，场地的面积 $ S $最大？

答案： 解：$S = x \cdot (\frac{60}{2} - x) = -x^2 + 30x = -(x - 15)^2 + 225$。
$\because a = -1 ＜ 0$，对称轴为直线$x = 15$，
$\therefore$当$x = 15$时，$S$有最大值。
答：当$x$是15m时，场地的面积$S$最大。

 【变式 1】(人教教材母题)已知直角三角形两条直角边的和等于 8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？

答案： 解：设直角三角形的一直角边长为$x$，则另一直角边长为$8 - x$，面积为$S$。
根据题意，得$S = \frac{1}{2}x(8 - x)(0 ＜ x ＜ 8)$，
配方，得$S = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 8$。
$\because a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，
$\therefore$当$x = 4$时，三角形的面积最大，最大面积是8。
答：两直角边都为4时，最大面积为8。

【例 2】如图，某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成。已知墙长 20 m，木栅栏长 47 m，在与墙垂直的一边留出 1 m 宽的出入口(另选材料建出入门)。求鸡场面积的最大值。

答案： 解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为$x$m，则与墙平行的一边长为$(47 - 2x + 1)$m。
依题意，得$y = x(47 - 2x + 1)$，
即$y = -2(x - 12)^2 + 288$。
$\because 47 - 2x + 1 \leq 20$，
$\therefore x \geq 14$。
$\because -2 ＜ 0$，对称轴为直线$x = 12$，
$\therefore$当$x \geq 14$时，$y$随$x$的增大而减少。
$\therefore$当$x = 14$时，$y$有最大值。
$\therefore$鸡场的最大面积为$14 × 20 = 280(m^2)$。