《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

类型1 靠墙围矩形问题
【例6】如图,EF是一面长为18m的墙,用总长为30m的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地ABCD,中间用栅栏隔成同样大小的三块小矩形,且在AB中间开一道2m宽的门.
(1)若要围成的矩形ABCD的面积为$60m^{2}$,求AB的长;
(2)能围成面积为$72m^{2}$的矩形ABCD吗? 请说明理由.

答案：
解：
(1)如图，设与墙垂直的边$AD$长为$x m$，则$BC = MN = PQ = x m$，$AB = 30 - AD - MN - PQ - BC + 2=(32 - 4x)m$.

根据题意，得$x(32 - 4x)=60$，
解得$x = 3$或$x = 5$.
当$x = 3$时，$AB = 32 - 4x = 20＞18$，不符合题意，舍去；
当$x = 5$时，$AB = 32 - 4x = 12＜18$，符合题意.
答：$AB$的长为12m.
(2)不能围成面积为$72m^{2}$的矩形$ABCD$.理由如下：
假设能围成面积为$72m^{2}$的矩形$ABCD$，
根据题意，得$x(32 - 4x)=72$，
整理，得$x^{2}-8x + 18 = 0$.
$\because\Delta=(-8)^{2}-4×1×18=-8＜0$，
$\therefore$此方程无实数根.
$\therefore$不能围成面积为$72m^{2}$的矩形$ABCD$.

【变式6】如图,利用一面墙(墙长25m),用总长度49m的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD,且中间共留有两个1m宽的小门,设栅栏BC长为xm.
(1)$AB=$$(51 - 3x)$米;(用含x的代数式表示)
(2)若矩形围栏ABCD的面积为$210m^{2}$,求栅栏BC的长;
(3)矩形围栏ABCD的面积是否有可能达到$240m^{2}$? 若有可能,求出相应x的值,若不可能,请说明理由.

(2)根据题意，得$(51 - 3x)x = 210$，整理，得$x^{2}-17x + 70 = 0$，解得$x_{1}=7$，$x_{2}=10$.当$x = 7$时，$AB = 51 - 3x = 30＞25$，不符合题意，舍去；当$x = 10$时，$AB = 51 - 3x = 21$，符合题意.答：栅栏$BC$的长为10m.(3)不可能.理由如下：根据题意，得$(51 - 3x)x = 240$，整理，得$x^{2}-17x + 80 = 0$.$\because\Delta=(-17)^{2}-4×1×80=-31＜0$，$\therefore$方程没有实数根.$\therefore$矩形围栏$ABCD$的面积不可能达到$240m^{2}$.

答案： 解：
(1)$(51 - 3x)$
(2)根据题意，得$(51 - 3x)x = 210$，
整理，得$x^{2}-17x + 70 = 0$，
解得$x_{1}=7$，$x_{2}=10$.
当$x = 7$时，$AB = 51 - 3x = 30＞25$，不符合题意，舍去；
当$x = 10$时，$AB = 51 - 3x = 21$，符合题意.
答：栅栏$BC$的长为10m.
(3)不可能.理由如下：
根据题意，得$(51 - 3x)x = 240$，
整理，得$x^{2}-17x + 80 = 0$.
$\because\Delta=(-17)^{2}-4×1×80=-31＜0$，
$\therefore$方程没有实数根.
$\therefore$矩形围栏$ABCD$的面积不可能达到$240m^{2}$.