《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

一、预习导学
分别在下面的平面直角坐标系中画出$y = x^{2}$，$y = 2x^{2}$和$y = -x^{2}$，$y = -2x^{2}$的图象并填表。
| $x$ | $\cdots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = x^{2}$ | $\cdots$ | | | | | | $\cdots$ |
| $y = 2x^{2}$ | $\cdots$ | | | | | | $\cdots$ |
| $x$ | $\cdots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = -x^{2}$ | $\cdots$ | | | | | | $\cdots$ |
| $y = -2x^{2}$ | $\cdots$ | | | | | | $\cdots$ |
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y = x^{2}$ | | | |
| $y = 2x^{2}$ | | | |
| $y = -x^{2}$ | | | |
| $y = -2x^{2}$ | | | |
结论：二次函数$y = ax^{2}$的图象是一条____线。
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 增减性 | 最值 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $a ＞ 0$ | | | | 当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而____。
当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而____。 | 当$x =$____时，$y_{最小值} =$____。 |
| $a ＜ 0$ | | | | 当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而____。
当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而____。 | 当$x =$____时，$y_{最大值} =$____。 |

答案：
| $x$ | $\cdots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = x^{2}$ | $\cdots$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $\cdots$ |
| $y = 2x^{2}$ | $\cdots$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $\cdots$ |
| $x$ | $\cdots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\cdots$ |
| $y = -x^{2}$ | $\cdots$ | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ | $\cdots$ |
| $y = -2x^{2}$ | $\cdots$ | $-8$ | $-2$ | $0$ | $-2$ | $-8$ | $\cdots$ |


| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y = x^{2}$ | 向上 | $y$轴 | $(0,0)$ |
| $y = 2x^{2}$ | 向上 | $y$轴 | $(0,0)$ |
| $y = -x^{2}$ | 向下 | $y$轴 | $(0,0)$ |
| $y = -2x^{2}$ | 向下 | $y$轴 | $(0,0)$ |
抛物 向上 向下 $y$轴 $y$轴 $(0,0)$ $(0,0)$ 减小 增大 增大 减小 $0$ $0$ $0$ $0$

【例1】二次函数$y = ax^{2}$的图象如图所示，则
(1)$a$＞$0$；
(2)开口向上；
(3)对称轴是$y$轴；
(4)顶点坐标是$(0,0)$；
(5)当$x =$$0$时，$y$的最小值为$0$。
(6)当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小。

答案： 1. （1）
因为二次函数$y = ax^{2}$的图象开口向上，根据二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的性质（当$a\gt0$时，抛物线开口向上；当$a\lt0$时，抛物线开口向下），所以$a\gt0$。
2. （2）
由图象可知，开口向上。
3. （3）
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其对称轴公式为$x =-\frac{b}{2a}$，在$y = ax^{2}$中$b = 0$，所以对称轴是$x = 0$（$y$轴）。
4. （4）
把$x = 0$代入$y = ax^{2}$得$y = 0$，所以顶点坐标是$(0,0)$。
5. （5）
因为$a\gt0$，二次函数$y = ax^{2}$的图象开口向上，所以当$x = 0$时，$y$有最小值，把$x = 0$代入$y = ax^{2}$得$y = 0$，即$y$的最小值为$0$。
6. （6）
因为$a\gt0$，二次函数$y = ax^{2}$的图象开口向上，对称轴是$y$轴，所以当$x\lt0$时，$y$随$x$的增大而减小。
综上，答案依次为：（1）$\gt$；（2）上；（3）$y$轴（或$x = 0$）；（4）$(0,0)$；（5）$0$，$0$；（6）减小。

【变式1】(多维原创)关于函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}$的图象与性质的说法如下：
①顶点坐标为$(0,0)$；②函数有最小值；③$y$随$x$的增大而增大；④点$(2,-2)$在该函数图象上；⑤对于任意一个实数$y$，有两个$x$的值与它相对应。其中正确的是①④。(填序号)

答案： 本题可根据二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}$的图象与性质，逐一分析所给说法：
①判断顶点坐标
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2 + k$（$a\neq0$，$(h,k)$为顶点坐标），函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}$可写成$y = -\frac{1}{2}(x - 0)^2 + 0$，所以其顶点坐标为$(0,0)$，故①**正确**。
②判断函数是否有最小值
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），当$a\gt0$时，抛物线开口向上，函数有最小值；当$a\lt0$时，抛物线开口向下，函数有最大值。
在函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}$中，$a=-\frac{1}{2}\lt0$，抛物线开口向下，函数有最大值，没有最小值，故②**错误**。
③判断$y$随$x$的变化情况
对于函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}$，其对称轴为$x = 0$（$y$轴），且抛物线开口向下，所以当$x\lt0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而减小，故③**错误**。
④判断点$(2,-2)$是否在函数图象上
将$x = 2$代入函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}$中，可得$y=-\frac{1}{2}×2^{2}=-\frac{1}{2}×4=-2$，所以点$(2,-2)$在该函数图象上，故④**正确**。
⑤判断对于任意实数$y$，$x$值的个数
当$y\gt0$时，方程$-\frac{1}{2}x^{2}=y$，即$x^{2}=-2y\lt0$，此时方程无实数根；当$y = 0$时，方程$-\frac{1}{2}x^{2}=0$，解得$x = 0$，此时$x$只有一个值；当$y\lt0$时，方程$-\frac{1}{2}x^{2}=y$，即$x^{2}=-2y\gt0$，解得$x=\pm\sqrt{-2y}$，此时$x$有两个值。所以并不是对于任意一个实数$y$，都有两个$x$的值与它相对应，故⑤**错误**。
综上，正确的是①④。
故答案为：$\boldsymbol{①④}$。

【例2】已知点$(-1,y_{1})$，$(-3,y_{2})$都在函数$y = x^{2}$的图象上，则$y_{1}$与$y_{2}$的大小关系为$y_{1} ＜ y_{2}$。

答案： 例2
- **步骤一：分别求出$y_1$与$y_2$的值
已知函数$y = x^{2}$，当$x=-1$时，将$x = - 1$代入函数$y = x^{2}$中，根据$(-a)^2=a^2$（$a$为实数），可得$y_{1}=(-1)^{2}=1$；
当$x=-3$时，将$x = - 3$代入函数$y = x^{2}$中，可得$y_{2}=(-3)^{2}=9$。
步骤二：比较$y_1$与$y_2$的大小
因为$1\lt9$，所以$y_{1}\lt y_{2}$。
变式2
步骤一：分析二次函数$y =-\frac{2}{5}x^{2}$的性质
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），在函数$y =-\frac{2}{5}x^{2}$中，$a =-\frac{2}{5}\lt0$，$b = 0$，$c = 0$，其图象开口向下，对称轴为$y$轴（$x = 0$）。
当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而减小。
步骤二：根据函数单调性比较$y_1$与$y_2$的大小
已知$x_{1}\gt x_{2}\gt0$，根据$y =-\frac{2}{5}x^{2}$在$x\gt0$时$y$随$x$的增大而减小的性质，可得$y_{1}\lt y_{2}$。
综上，例2答案为$\boldsymbol{y_{1}\lt y_{2}}$；变式2答案为$\boldsymbol{y_{1}\lt y_{2}}$。

【变式2】已知点$A(x_{1},y_{1})$与$B(x_{2},y_{2})$在二次函数$y = -\frac{2}{5}x^{2}$的图象上，且$x_{1} ＞ x_{2} ＞ 0$，则$y_{1}$与$y_{2}$的大小关系为____。

答案： 1. 首先分析二次函数$y = -\frac{2}{5}x^{2}$的性质：
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），在$y = -\frac{2}{5}x^{2}$中，$a = -\frac{2}{5}\lt0$，$b = 0$，$c = 0$。
其图象是一条抛物线，对称轴为$x = -\frac{b}{2a}=0$（$y$轴）。
当$a\lt0$时，在对称轴右侧（$x\gt0$），$y$随$x$的增大而减小。
2. 然后根据已知条件判断$y_1$与$y_2$的大小：
已知$x_{1}\gt x_{2}\gt0$，因为在$x\gt0$时，$y = -\frac{2}{5}x^{2}$中$y$随$x$的增大而减小。
所以当$x_{1}\gt x_{2}\gt0$时，$y_{1}\lt y_{2}$。
故答案为$y_{1}\lt y_{2}$。