《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 解下列方程：
（1）$x^{2}-x-3=0$；（2）$3x(x-4)=x-4$。

答案： 1.
(1) 解：$ \because a = 1 $，$ b = -1 $，$ c = -3 $，
$ \therefore \Delta = (-1)^{2} - 4 × 1 × (-3) = 1 + 12 = 13 ＞ 0 $。
$ \therefore x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2} $。
$ \therefore x_{1} = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} $，$ x_{2} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} $。
(2) 解：$ (x - 4)(3x - 1) = 0 $，
$ x - 4 = 0 $，或 $ 3x - 1 = 0 $，
$ \therefore x_{1} = 4 $，$ x_{2} = \frac{1}{3} $。

2. 已知关于$x$的方程$x^{2}+ax+a-5=0$。
（1）若方程的一个根为$3$，求$a$的值及该方程的另一个根；
（2）求证：无论$a$取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根。

答案： 2. 解：
(1) 把 $ x = 3 $ 代入方程，得 $ 3^{2} + 3a + a - 5 = 0 $，解得 $ a = -1 $。
$ \therefore $ 方程为 $ x^{2} - x - 6 = 0 $，
解得 $ x_{1} = 3 $，$ x_{2} = -2 $。
即方程的另一个根是 $ -2 $。
(2) 证明：$ \because \Delta = a^{2} - 4(a - 5) = a^{2} - 4a + 20 = a^{2} - 4a + 4 + 16 = (a - 2)^{2} + 16 ＞ 0 $，
$ \therefore $ 无论 $ a $ 取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根。

3. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x+k-1=0$有实数根。
（1）求$k$的取值范围；
（2）若此方程的两实数根$x_{1}$，$x_{2}$满足$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$，求$k$的值。

答案： 3. 解：
(1) 根据题意，得 $ \Delta = (-4)^{2} - 4(k - 1) \geq 0 $，解得 $ k \leq 5 $。
(2) 由题意，得 $ x_{1} + x_{2} = 4 $，$ x_{1}x_{2} = k - 1 $。
$ \because x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10 $，
$ \therefore (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = 4^{2} - 2(k - 1) = 10 $，
解得 $ k = 4 $。
满足条件 $ k \leq 5 $，故 $ k $ 的值是 $ 4 $。

4. 由于流感的影响，口罩的需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包$10$元涨到了每包$16.9$元。
（1）求出这两次价格上调的平均增长率；
（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包$10$元，而且调查发现，定价为每包$10$元时，一天可以卖出$30$包，每降价$1$元，可以多卖出$5$包。当销售额为$315$元，且让顾客获得更大的优惠时，应该降价多少元？

答案： 4. 解：
(1) 设这两次价格上调的平均增长率为 $ x $。
根据题意，得 $ 10(1 + x)^{2} = 16.9 $，
解得 $ x_{1} = 0.3 = 30\% $，$ x_{2} = -2.3 $（不符合题意，舍去）。
答：这两次价格上调的平均增长率为 $ 30\% $。
(2) 设每包应该降价 $ m $ 元。
根据题意，得 $ (10 - m)(30 + 5m) = 315 $，
整理，得 $ m^{2} - 4m + 3 = 0 $，
解得 $ m_{1} = 1 $，$ m_{2} = 3 $。
又 $ \because $ 要让顾客获得更大的优惠，
$ \therefore m $ 的值为 $ 3 $。
答：每包应该降价 $ 3 $ 元。