《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

2. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时,能卖出200件,已知该商品单价每上涨1元,其销售量就减少5件,设这种商品的售价上涨x元时,获得的利润为y元,则下列关系式正确的是(C)
A. $ y=(x - 35)(200 - 5x) $
B. $ y=(x + 40)(200 - 10x) $
C. $ y=(x + 5)(200 - 5x) $
D. $ y=(x + 5)(200 - 10x) $

答案： C

【例1】某商店将进货价为70元/件的商品按零售价100元/件出售时,每天能卖出20件,若零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加1件.
(1)设降价x元后,利润为y元,求y与x之间的函数关系式;
(2)当x为多少时,每天的利润最大? 最大利润是多少?

答案： 解：
(1)y与x之间的函数关系式为
$y=(20+x)(100-x-70)=-x^{2}+10x+600$。
(2)$y=-x^{2}+10x+600$
$=-(x-5)^{2}+625$。
$\because -1＜0$，
∴当$x=5$时，二次函数有最大值，为625。
∴当x为5时，每天的利润最大，最大利润是625元。

【变式1】某商店购进一批单价为8元的商品,如果按每件10元出售,那么每天可销售100件.经调查发现,这种商品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少10件.将销售价定为多少,才能使每天所获销售利润最大? 最大利润是多少?

答案： 解：设销售单价定为x元$(x≥10)$，每天所获利润为y元。
则$y=[100-10(x-10)]\cdot (x-8)$
$=-10x^{2}+280x-1600$
$=-10(x-14)^{2}+360$，
∴将销售单价定为14元时，每天所获销售利润最大，最大利润是360元。

【例2】某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜,市场监督部门规定其售价每千克不高于28元.经市场调查发现,山野菜的日销售量y(单位:kg)与每千克售价x(单位:元)之间满足一次函数关系,部分数据如表:
| 每千克售价x(元) | … | 20 | 22 | 24 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 日销售量y(kg) | … | 66 | 60 | 54 | … |
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时,批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大? 最大利润为多少元?

答案： 解：
(1)设y与x之间的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$。
由表中数据，得$\left\{\begin{array}{l} 20k+b=66,\\ 22k+b=60,\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l} k=-3,\\ b=126.\end{array}\right.$
∴y与x之间的函数关系式为$y=-3x+126$。
(2)设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元。
由题意，得$w=(x-18)y=(x-18)(-3x+126)=-3x^{2}+180x-2268=-3(x-30)^{2}+432$。
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，
$\therefore 18≤x≤28$。
$\because -3＜0$，
∴当$x＜30$时，w随x的增大而增大。
∴当$x=28$时，w最大，最大值为420。
答：当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元。