《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 抛物线$y = \sqrt{3}x^{2}$的开口向上，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$，函数有最小值，为$0$，当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大。

答案： 上 $y $ 轴 $ (0,0) $ 小 $ 0 $ 增大

2. 直线$y = x$向上平移1个单位长度得到直线$y = x + 1$，猜想把抛物线$y = x^{2}$向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式会怎么表示呢？

答案： 【解析】：在平面直角坐标系中，对于函数图象的平移，遵循“上加下减，左加右减”的原则。“上加下减”是针对函数表达式中的常数项而言的，当图象向上平移时，在原函数表达式的基础上，常数项加上平移的单位长度；当图象向下平移时，在原函数表达式的基础上，常数项减去平移的单位长度。“左加右减”是针对自变量$x$而言的，当图象向左平移时，自变量$x$加上平移的单位长度；当图象向右平移时，自变量$x$减去平移的单位长度。本题是将抛物线$y = x^{2}$向上平移$1$个单位长度，根据“上加下减”的原则，在原函数$y = x^{2}$的基础上，常数项加上$1$，即可得到平移后的抛物线解析式。
【答案】：$y = x^{2}+1$

【例1】在同一平面直角坐标系中画出$y = x^{2}$，$y = x^{2}+1$，$y = x^{2}-1$的图象：
| $x$ | $\cdots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = x^{2}$ | $\cdots$ | | | | | | $\cdots$ |
| $y = x^{2}+1$ | $\cdots$ | | | | | | $\cdots$ |
| $y = x^{2}-1$ | $\cdots$ | | | | | | $\cdots$ |
观察【例1】图象填空：
(1) 抛物线$y = x^{2}$向____平移____个单位长度可得到抛物线$y = x^{2}+1$；
(2) 抛物线$y = x^{2}$向____平移____个单位长度可得到抛物线$y = x^{2}-1$。
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y = x^{2}$ | | | |
| $y = x^{2}+1$ | | | |
| $y = x^{2}-1$ | | | |

答案：
| $ x $ | $ \cdots $ | $ -2 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ \cdots $ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ y = x^{2} $ | $ \cdots $ | $ 4 $ | $ 1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 4 $ | $ \cdots $ |
| $ y = x^{2}+1 $ | $ \cdots $ | $ 5 $ | $ 2 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 5 $ | $ \cdots $ |
| $ y = x^{2}-1 $ | $ \cdots $ | $ 3 $ | $ 0 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 3 $ | $ \cdots $ |

(1) 上 $ 1 $
(2) 下 $ 1 $
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $ y = x^{2} $ | 向上 | $ y $ 轴 | $ (0,0) $ |
| $ y = x^{2}+1 $ | 向上 | $ y $ 轴 | $ (0,1) $ |
| $ y = x^{2}-1 $ | 向上 | $ y $ 轴 | $ (0,-1) $ |

【变式1】在同一平面直角坐标系中画出函数$y = -x^{2}$，$y = -x^{2}+2$，$y = -x^{2}-2$的图象：
| $x$ | $\cdots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = -x^{2}$ | $\cdots$ | | | | | | $\cdots$ |
| $y = -x^{2}+2$ | $\cdots$ | | | | | | $\cdots$ |
| $y = -x^{2}-2$ | $\cdots$ | | | | | | $\cdots$ |
观察【变式1】的图象填空：
(1) 抛物线$y = -x^{2}$向____平移____个单位长度可得到抛物线$y = -x^{2}+2$；
(2) 抛物线$y = -x^{2}$向____平移____个单位长度可得到抛物线$y = -x^{2}-2$。
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y = -x^{2}$ | | | |
| $y = -x^{2}+2$ | | | |
| $y = -x^{2}-2$ | | | |

答案：
| $ x $ | $ \cdots $ | $ -2 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ \cdots $ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ y = -x^{2} $ | $ \cdots $ | $ -4 $ | $ -1 $ | $ -0 $ | $ -1 $ | $ -4 $ | $ \cdots $ |
| $ y = -x^{2}+2 $ | $ \cdots $ | $ -2 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 1 $ | $ -2 $ | $ \cdots $ |
| $ y = -x^{2}-2 $ | $ \cdots $ | $ -6 $ | $ -3 $ | $ -2 $ | $ -3 $ | $ -6 $ | $ \cdots $ |

(1) 上 $ 2 $
(2) 下 $ 2 $
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $ y = -x^{2} $ | 向下 | $ y $ 轴 | $ (0,0) $ |
| $ y = -x^{2}+2 $ | 向下 | $ y $ 轴 | $ (0,2) $ |
| $ y = -x^{2}-2 $ | 向下 | $ y $ 轴 | $ (0,-2) $ |