《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例3】如图，在平面直角坐标系中$\triangle ABC$的顶点均在格点上，点B的坐标为$(-3,-1)$。

(1)画出$\triangle ABC$关于x轴对称的$\triangle A_{1}B_{1}G_{1}$；
(2)画出将$\triangle ABC$绕原点O按逆时针方向旋转$90^{\circ }$所得的$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$；
(3)$\triangle ABC$的面积=____。

答案：
解：
(1)如图所示。
(2)如图所示。

(3)$\frac{7}{2}$

【变式3】如图，在平面直角坐标系中有一个$\triangle ABC$。

(1)画出$\triangle ABC$关于y轴的对称图形$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，并写出点$A_{1}$的坐标；
(2)画出将$\triangle ABC$绕点O顺时针旋转$90^{\circ }$后得到的$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$。

答案：
解：
(1)如图所示。
点A₁(-2,4)。
(2)如图所示

1. 如图，点$P(-2,1)$绕点O逆时针旋转$90^{\circ }$得到点$P'$，则点$P'$的坐标为(A)
A. $(-1,-2)$
B. $(-2,-1)$
C. $(-1,2)$
D. $(2,1)$

答案： A

2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，$\triangle A'B'C'$由$\triangle ABC$绕点P旋转得到，则点P的坐标为(1,-1)。

答案： (1,-1)

3. 如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，$\triangle OAB$是边长为4的等边三角形，以点O为旋转中心，将$\triangle OAB$顺时针旋转$60^{\circ }$，得到$\triangle OA'B'$，那么点$A'$的坐标为(A)

A. $(-2,2\sqrt {3})$
B. $(-2,4)$
C. $(-2,-2\sqrt {3})$
D. $(2,2\sqrt {3})$

答案： A

4. (综合与实践·操作探究)【问题提出】如图，在等腰直角三角形ABC中，$∠BAC=90^{\circ }$，点M为$\triangle ABC$内一点，连接AM，BM，CM，已知$AM=\sqrt {2}$，$BM=3$，$CM=\sqrt {13}$，求$∠AMB$的度数。
【操作探究】小明想到了如下方法：将线段AM绕点A顺时针旋转$90^{\circ }$得到线段AN，连接BN，MN。
【问题解决】(1)在图中画出旋转后的图形。
(2)试判断$\triangle BMN$的形状，并说明理由；
(3)直接写出$∠AMB$的度数。

答案：
解：
(1)如图所示。

(2)△BMN是直角三角形。理由如下：
∵将线段AM绕点A顺时针旋转90°得到线段AN，
∴AM=AN=$\sqrt{2}$，∠MAN=90°=∠BAC。
∴∠CAM=∠BAN，MN=$\sqrt{2}$AM=2。
又
∵AB=AC，
∴△ACM≌△ABN。
∴BN=CM=$\sqrt{13}$。
∵MN²+BM²=4+9=13，BN²=13，
∴MN²+BM²=BN²。
∴∠BMN=90°。
∴△BMN是直角三角形。
(3)135°