《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

|图形|三角形内切圆与内心的概念|三角形内心的性质|
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|!|(1)与三角形____的圆叫做三角形的内切圆；
(2)三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的____.|(1)三角形的内心到三角形____的距离相等；
(2)三角形的内心是三角形____的交点.|

答案： 当圆在三角形内相切时，圆的半径最大，此时圆的面积最大，故⊙O即为所截下的圆形.
左：
(1)各边都相切
(2)内心
右：
(1)各边
(2)三条角平分线

【例3】(人教教材母题)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF，BD，CE的长.

答案： 解：设 AE = AF = x，BF = BD = y，CE = CD = z.
根据题意，得 {x + y = 9， y + z = 14， x + z = 13，
解得 {x = 4， y = 5， z = 9.
即 AF = 4，BD = 5，CE = 9.

【例4】如图，求作△ABC的内心O(三角形三条角平分线的交点，即内切圆的圆心).
(1)若∠ABC=60°，∠C=40°，则∠BOC=____；
(2)若∠A=80°，则∠BOC=____.

答案：
解：如图所示.

(1)130°
(2)130°

【变式3】如图，在△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F是切点.
(1)求证：四边形ODCE是正方形；
(2)若AB=5，AC=3，求内切圆⊙O的半径.

答案： 解：
(1)证明：
∵⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴OD⊥BC，OE⊥AC.
又
∵∠C = 90°，
∴四边形 ODCE 是矩形.
∵OD = OE，
∴四边形 ODCE 是正方形.
(2)设⊙O 的半径为 r.
∵四边形 ODCE 是正方形，
∴OD = DC = CE = r.
在 Rt△ABC 中，
BC = √(AB² - AC²) = 4，
∴BD = 4 - r，AE = 3 - r.
∵⊙O 与△ABC 各边相切于点 D，E，F，
∴AE = AF = 3 - r，BF = BD = 4 - r.
∵AB = AF + BF = 5，
∴3 - r + 4 - r = 5，
解得 r = 1，
∴内切圆⊙O 的半径是 1.

【变式4】(1)作出△ABC的内切圆⊙O；
(2)若△ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为C，则△ABC的面积S=____.

答案：
解：
(1)如图所示.

(2)1/2 Cr

三、课堂评价
(人教教材母题改编)如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB//CD，BO=6cm，OC=8cm.求：(1)BC的长；(2)⊙O的半径.

答案：
解：
(1)
∵AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于 E，F，G 三点，
∴∠OBC = 1/2 ∠ABC，∠OCB = 1/2 ∠DCB.
∵AB//CD，
∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴∠OBC + ∠OCB = 90°.
∴∠BOC = 90°.
∵在 Rt△BOC 中，OB = 6 cm，OC = 8 cm，
∴BC = √(6² + 8²) = 10(cm).
(2)如图，连接 OF.

∵BC 是⊙O 的切线，点 F 为切点，
∴OF⊥BC.
∴S△BOC = 1/2 OB·OC = 1/2 OF·BC，
即 6×8 = 10×OF，
解得 OF = 24/5.
即⊙O 的半径为 24/5 cm.