《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例1】如图，$OA$，$OB$是$\odot O$的两条半径，点$C$在$\odot O$上，若$\angle AOB = 80^{\circ}$，则$\angle C$的度数为____.

答案： 40°

【变式1】如图，点$A$，$B$，$C$在$\odot O$上，且$\angle A+\angle BOC = 90^{\circ}$，则$\angle A$的度数为____.

答案： 30°

【例4】如图，点$A$，$P$，$B$，$C$是$\odot O$上的四个点，$\angle APC=\angle CPB = 60^{\circ}$.判断$\triangle ABC$的形状，并证明你的结论.

答案： 解:△ABC是等边三角形.证明如下:由圆周角定理，得∠ABC=∠APC,∠BAC=∠CPB.
∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°.
∴△ABC是等边三角形.

【变式4】如图，点$A$，$B$，$C$在$\odot O$上，点$D$是$\overset{\frown}{BC}$的中点.求证:$\angle 1=\angle 2=\angle 3=\angle 4$.

答案： 证明:
∵点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点,
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$.
∴∠1=∠2,BD=CD.
∴∠3=∠4.
又
∵∠1=∠3,∠2=∠4,
∴∠1=∠2=∠3=∠4.

1. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，点$C$，$D$在$\odot O$上，$\angle ADC = 30^{\circ}$，则$\angle BOC =$120°.

答案： 120°

2. 如图，点$A$，$B$，$C$在圆上，$AD$，$BD$分别平分$\angle BAC$和$\angle ABC$，延长$AD$交该圆于点$E$，连接$BE$.求证:$BE = DE$.

答案： 证明:由图可得∠EBC=∠EAC.
∵AD,BD分别平分∠BAC和∠ABC,
∴∠BAE=∠EAC,∠DBC=∠ABD.
∴∠EBC=∠BAE.
∴∠EBC+∠DBC=∠BAE+∠ABD.
又
∵∠EBC+∠DBC=∠EBD,∠BAE+∠ABD=∠BDE,
∴∠EBD=∠BDE.
∴BE=DE.

3. (多维原创)如图，$AB$为$\odot O$的直径，$CD$是弦，且$AB\perp CD$于点$E$，连接$AC$，$OC$，$BC$.
(1)求证:$\angle ACO=\angle BCD$；
(2)若$EB = 4\mathrm{cm}$，$CD = 16\mathrm{cm}$，求$OC$的长.

答案：
(1) 证明:
∵AB为⊙O的直径,且AB⊥CD于点E,
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$.
∴∠BCD=∠A.
又
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO.
∴∠ACO=∠BCD.
(2)
∵AB为⊙O的直径,且AB⊥CD于点E,
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=8cm.
设OC为rcm,
则OE=OB - BE=r - 4.
在Rt△OCE中,
OC²=OE²+CE²,
即r²=8²+(r - 4)²,
解得r = 10.
∴OC的长为10cm.