《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

一、预习导学
|图例|旋转的性质|几何语言|
|----|----|----|
|!|(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等.|∵旋转，
∴$OA = OA'$，$OB = OB'$，$OC = OC'$，$\angle AOA'=\angle BOB'=\angle COC'$，$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$.|

答案： 一、预习导学
(1)相等　
(2)等于　
(3)全等
$OA = OA'$，$OB = OB'$，$OC = OC'$，$\angle AOA'=\angle BOB'=\angle COC'$，$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$

【例1】如图，点P为等边三角形ABC内部的一点，△ABP旋转后能与△CBP'重合.

(1)旋转中心是____，旋转角是____度；
(2)连接PP'，△BPP'是什么三角形？说明你的理由；
(3)若点A，P，P'三点共线，求∠PP'C的度数.

答案： [例1]解:
(1)点B　60
(2)$\triangle BPP'$是等边三角形.理由如下:
∵旋转角为$60^{\circ}$，
∴$\angle PBP' = 60^{\circ}$.
　又
∵$BP = BP'$，
∴$\triangle BPP'$是等边三角形.
(3)由
(2)，得$\triangle BPP'$是等边三角形，
∴$\angle BPP' = 60^{\circ}$.
∵点A，P，P'三点共线，
∴$\angle APB = 180^{\circ}-\angle BPP' = 120^{\circ}$.
∴$\angle BP'C = 120^{\circ}$.
∵$\angle PP'B = 60^{\circ}$，
∴$\angle PP'C = \angle BP'C-\angle PP'B = 60^{\circ}$.

【变式1】如图，在正方形ABCD中，△ABE绕点B旋转90°到△CBE'的位置，若AE=1，BE=2，CE=3，连接EE'.

(1)△BEE'是____三角形；
(2)EE'=____；
(3)判断△EE'C的形状并证明.

答案： [变式1]解:
(1)等腰直角　
(2)$2\sqrt{2}$
(3)$\triangle EE'C$是直角三角形.
　证明如下:由旋转，得$E'C = AE = 1$.
∵$E'C^{2}+EE'^{2}=1^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=9$，
　$EC^{2}=3^{2}=9$，
∴$E'C^{2}+EE'^{2}=EC^{2}$.
∴$\triangle EE'C$是直角三角形.

【变式2】如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE=CE，连接DE.

(1)求证：△BDE≌△BCE；
(2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由.

答案： [变式2]解:
(1)证明:由旋转，得$BD = BC$，$\angle ABD=\angle EBC$.
∵$AB\perp BC$，
∴$\angle ABC = 90^{\circ}$.
∴$\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC = 30^{\circ}$，
∴$\angle EBC=\angle ABD = 30^{\circ}$.
∴$\angle EBD=\angle DBC-\angle EBC = 30^{\circ}$.
∴$\angle EBD=\angle EBC$.
　在$\triangle BDE$和$\triangle BCE$中，
　$\begin{cases}BD = BC,\\\angle EBD=\angle EBC,\\BE = BE,\end{cases}$
∴$\triangle BDE\cong\triangle BCE(SAS)$.
(2)四边形$ABED$是菱形.
　理由如下:由旋转，得$BA = BE$，$DA = CE$.
∵$BE = CE$，
∴$BA = DA = CE$.
　由
(1)，得$\triangle BDE\cong\triangle BCE$，
∴$DE = CE$.
∴$BA = DA = DE = BE$.
∴四边形$ABED$是菱形.