《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

一、预习导学

答案： $=$；$＞$

【例1】已知$\odot O$的半径$r = 2$，圆心到直线的距离为$d$。
(1)若$d = 1$，则直线和圆的位置关系是____；
(2)若$d =$____时，直线和圆相切；
(3)若$d = 5$，则直线和圆有____个公共点。

答案： 1. 对于直线与圆的位置关系：
设圆的半径为$r$，圆心到直线的距离为$d$，则有：
当$d\lt r$时，直线与圆相交；
当$d = r$时，直线与圆相切；
当$d\gt r$时，直线与圆相离。
2. （1）已知$r = 2$，$d = 1$：
因为$1\lt2$，即$d\lt r$，所以直线和圆的位置关系是相交。
3. （2）已知$r = 2$，当直线和圆相切时：
根据$d = r$，可得$d = 2$。
4. （3）已知$r = 2$，$d = 5$：
因为$5\gt2$，即$d\gt r$，直线与圆相离，所以直线和圆有$0$个公共点。
综上，答案依次为：（1）相交；（2）$2$；（3）$0$。

【变式1】$\odot O$的直径为$8\mathrm{cm}$，圆心$O$到直线$l$的距离为$8\mathrm{cm}$，则直线$l$与$\odot O$的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定

答案： 1. 首先明确圆的相关性质：
设圆的半径为$r$，圆心到直线的距离为$d$。
当$d\gt r$时，直线与圆相离；当$d = r$时，直线与圆相切；当$d\lt r$时，直线与圆相交。
2. 然后求圆$\odot O$的半径$r$：
已知圆$\odot O$的直径$d_{0}=8cm$，根据半径与直径的关系$r=\frac{d_{0}}{2}$，可得$r = 4cm$。
又已知圆心$O$到直线$l$的距离$d = 8cm$。
3. 最后比较$d$与$r$的大小：
因为$d=8cm$，$r = 4cm$，满足$d\gt r$。
所以直线$l$与$\odot O$的位置关系是相离，答案是C。

【例2】已知$\odot O$的半径为$6\mathrm{cm}$，直线$l$与$\odot O$有公共点，设点$O$到直线$l$的距离为$d\mathrm{cm}$，则$d$的取值范围是____。

答案： 1. 首先明确直线与圆的位置关系：
设圆的半径为$r$，圆心到直线的距离为$d$。
当直线$l$和圆$\odot O$相交时，$d\lt r$；当直线$l$和圆$\odot O$相切时，$d = r$；当直线$l$和圆$\odot O$相离时，$d\gt r$。
已知圆$\odot O$的半径$r = 6\mathrm{cm}$，直线$l$与$\odot O$有公共点，那么直线$l$与圆$\odot O$的位置关系是相交或相切。
2. 然后确定$d$的取值范围：
当直线$l$与圆$\odot O$相交时，$d\lt6$；当直线$l$与圆$\odot O$相切时，$d = 6$。
所以$d$的取值范围是$0\leqslant d\leqslant6$。

【变式2】已知$\odot O$与直线$l$有公共点，圆心$O$到直线$l$的距离为$4$，则$r$的取值范围是____。

答案： 1. 首先明确直线与圆的位置关系：
设圆的半径为$r$，圆心到直线的距离为$d$。
当直线$l$和圆$\odot O$相交时，$d\lt r$；当直线$l$和圆$\odot O$相切时，$d = r$；当直线$l$和圆$\odot O$相离时，$d\gt r$。
2. 然后根据已知条件分析：
已知$\odot O$与直线$l$有公共点，那么直线$l$与$\odot O$的位置关系是相切或相交。
又已知圆心$O$到直线$l$的距离$d = 4$。
当直线$l$与$\odot O$相切时，$r=d = 4$；当直线$l$与$\odot O$相交时，$r\gt d$，即$r\gt4$。
所以$r$的取值范围是$r\geqslant4$。

【例3】如图，在射线$OA$上取一点$A$，使$OA = 4\mathrm{cm}$，$\angle BOA = 30^{\circ}$。

(1)以点$A$为圆心，作一个半径为$3\mathrm{cm}$的圆，$\odot A$与直线$OB$的位置关系是____；
(2)点$A$为圆心，$r$为半径作$\odot A$，若$\odot A$与$OB$相切，则$r =$____。

答案： 1. （1）
过点$A$作$AB\perp OB$于点$B$。
在$Rt\triangle ABO$中，$\angle BOA = 30^{\circ}$，$OA = 4\mathrm{cm}$。
根据在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AB=\frac{1}{2}OA$。
所以$AB = 2\mathrm{cm}$。
已知圆$A$半径$R = 3\mathrm{cm}$，因为$AB=2\mathrm{cm}\lt R = 3\mathrm{cm}$。
所以$\odot A$与直线$OB$的位置关系是相交。
2. （2）
解：
当$\odot A$与$OB$相切时，圆心$A$到直线$OB$的距离$d$等于圆的半径$r$。
由（1）知，在$Rt\triangle ABO$中，$\angle BOA = 30^{\circ}$，$OA = 4\mathrm{cm}$，根据$AB=\frac{1}{2}OA$（$30^{\circ}$角所对直角边是斜边的一半）。
所以$r = AB=\frac{1}{2}×4 = 2\mathrm{cm}$。
故答案依次为：（1）相交；（2）$2\mathrm{cm}$。

【变式3】如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，以点$C$为圆心，$r$为半径作$\odot C$。

(1)当$r = 3$时，$\odot C$与直线$AB$的位置关系是____；
(2)当$r =$____时，$\odot C$与直线$AB$相切。

答案： 1. 首先求$AB$的长度：
根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，已知$AC = 3$，$BC = 4$，则$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
2. 然后求点$C$到直线$AB$的距离$d$（利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$）：
因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot d$。
已知$AC = 3$，$BC = 4$，$AB = 5$，代入$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot d$中，可得$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× d$。
解方程$3×4 = 5d$，得$d=\frac{12}{5}=2.4$。
3. 接着判断$r = 3$时$\odot C$与直线$AB$的位置关系：
因为$r = 3$，$d = 2.4$，$r\gt d$。
根据直线与圆的位置关系（设圆的半径为$r$，圆心到直线的距离为$d$，当$r\gt d$时，直线与圆相交；当$r = d$时，直线与圆相切；当$r\lt d$时，直线与圆相离），所以$\odot C$与直线$AB$的位置关系是相交。
4. 最后求$\odot C$与直线$AB$相切时$r$的值：
当$\odot C$与直线$AB$相切时，$r = d$。
由前面计算得$d=\frac{12}{5}$，所以$r=\frac{12}{5}$。
故答案为：
(1)相交；
(2)$\frac{12}{5}$。