《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例3】作三角形ABC的外接圆$\odot O$。
(1)锐角三角形的外心在三角形的内部。若$∠C = 60^{\circ}$，则$∠AOB =$120$^{\circ}$；
(2)直角三角形的外心是三角形的斜边的中点。若$BC = 6$，$AC = 8$，则$\odot O$的半径为5。
(3)钝角三角形的外心是三角形的外部；若$∠B = 30^{\circ}$，$AC = 3$，则$\triangle ABC$的外接圆$\odot O$的面积为$9\pi$。

答案：
(1)内部 120
(2)中点 5
(3)外部 $ 9\pi $

【变式3】三角形的三边长为5，12，13，那么此三角形的外接圆的半径为(C)
A. 5
B. 6
C. 6.5
D. 10

答案： C

1. 有下列说法：①任意三点确定一个圆；②任意一个三角形有且仅有一个外接圆；③长度相等的两条弧是等弧；④过两点可作无数个圆。其中正确的是(D)
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④

答案： D

2. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$∠C = 90^{\circ}$，$∠A = 30^{\circ}$，$AB = 6$，以点B为圆心，3为半径作$\odot B$，则点C与$\odot B$的位置关系是(B)

A.点C在$\odot B$内
B.点C在$\odot B$上
C.点C在$\odot B$外
D.无法确定

答案： B

3. 已知在平面直角坐标系中，点P点坐标为$(3,4)$，若以原点O为圆心，半径为5画圆，则点P与$\odot O$的位置关系是(B)
A.点在圆内
B.点在圆上
C.点在圆外
D.不能确定

答案： B

4. 如图，在$\triangle ABD$中，AE，BE分别平分$∠BAD$和$∠ABD$，延长AE交$\triangle ABD$的外接圆于点C，连接CB，CD，ED。
(1)若$∠CBD = 40^{\circ}$，求$∠BAD$的度数；
(2)求证：点C是$\triangle BDE$的外心。

答案： 解:
(1)$\because$AE平分$\angle BAD$，
$\therefore \angle BAD = 2\angle CAD$。
$\because \angle CAD = \angle CBD = 40^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD = 80^{\circ}$。
(2)证明:$\because$AE，BE分别平分$\angle BAD$和$\angle ABD$，
$\therefore \angle BAC = \angle DAC$，$\angle ABE = \angle DBE$。
$\therefore \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD}$。
$\therefore BC = CD$。
$\because \angle CBD = \angle CAD$，
$\therefore \angle CBE = \angle CBD + \angle DBE$，$\angle BEC = \angle BAC + \angle ABE$。
$\therefore \angle CBE = \angle BEC$。
$\therefore BC = EC$。
$\therefore BC = EC = DC$。
$\therefore$点B，E，D在点C为圆心的同一圆上。
$\therefore$点C是$\triangle BDE$的外心。