《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

数学探究——四点共圆的条件
(人教教材母题改编)我们知道,过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆.过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗?
下图给出了一些四边形,能否过它们的四个顶点作一个圆?试一试.
(1)分别测量上面各四边形的内角,如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆,那么其相对的两个内角之间有什么关系?
(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆,那么其相对的两个内角之间有上面的关系吗?试结合下图说明其中的道理;(提示:利用圆周角与其所对弧的大小关系,考虑$∠B+∠D$与$180^{\circ }$之间的关系)
(3)由上面的探究,试归纳出判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件:________.
(4)如图,在线段AC同侧有两点B,D,连接AD,AB,CB,CD,若$∠B=∠D$,求证:A,B,C,D四点在同一个圆上.

答案：
解：
(1)对角互补(对角之和等于$180^{\circ}$).
(2)如图1，连接$BE$，$\because \angle A+\angle E=180^{\circ}$，$\angle BCD＞\angle E$，$\therefore \angle A+\angle BCD＞180^{\circ}$；
如图2，连接$DE$，$\because \angle A+\angle BED=180^{\circ}$，$\angle BED＞\angle C$，$\therefore \angle A+\angle C＜180^{\circ}$.

(3)对角互补
(4)证明：如图，作经过点$A$，$C$，$D$的$\odot O$，在劣弧$\overset{\frown}{AC}$上取一点$E$(不与点$A$，$C$重合)，连接$AE$，$CE$，则$\angle AEC+\angle D=180^{\circ}$.

$\because \angle B=\angle D$，$\therefore \angle AEC+\angle B=180^{\circ}$.$\therefore$点$A$，$B$，$C$，$E$四点在同一个圆上.$\therefore$点$B$，$D$在点$A$，$C$，$E$所确定的$\odot O$上.$\therefore A$，$B$，$C$，$D$四点在同一个圆上.