《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例3】如图，AB是⊙O的直径，BE平分∠ABC，过点E作EF⊥BC于点F. 求证：

(1)GF是⊙O的切线；
(2)BE²=AB·BF.

答案：
证明:
(1)如图，连接OE.
　　　　　
∵BE平分∠FBA,
∴∠1=∠2.
∵OB=OE,
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
∴OE//BF.
∵BF⊥GF,
∴OE⊥GF.
∵OE是⊙O的半径，
∴GF是⊙O的切线
(2)如图，连接AE.
　由
(1),得GF是⊙O的切线，
∴∠OEF=90°.
∴∠BEF+∠3=90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°.
∴∠BAE+∠2=90°.
∴∠BEF=∠BAE.
　又
∵∠EBF=∠ABE,
∴△EBF∽△ABE.
∴$\frac{EB}{AB}$=$\frac{BF}{BE}$,即BE²=AB·BF.

【变式3】如图，AB为半圆O的直径，点C为BA延长线上的一点，CD切半圆O于点D，连接OD. 作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F.

(1)求证：△COD∽△CBE；
(2)若CE=8，BE=6，求半圆O的半径.

答案： 解:
(1)证明:
∵CD切半圆于点D,OD为⊙O的半径，
∴CD⊥OD.
∴∠CDO=90°.
∵BE⊥CD于点E,
∴∠E=90°.
∵∠CDO=∠E=90°,∠C=∠C,
∴△COD∽△CBE.
(2)在Rt△BEC中,CE=8,BE=6,
∴CB=√CE²+BE²=　$\sqrt{8²+6²}$=10.设OD=OB=r.
∵△COD∽△CBE,
∴$\frac{OD}{BE}$=$\frac{CO}{CB}$.
∴$\frac{r}{6}$=$\frac{10−r}{10}$,
　解得r=$\frac{15}{4}$.
∴半圆O的半径为$\frac{15}{4}$.

1. 如图，△ABC内接于⊙O，弦CD=BC，弦AC与BD相交于点P.
(1)求证：△CAB∽△CBP；
(2)若BC=4√3，CP=6，求AP的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵CD=BC,
∴∠CBD=∠D.
∵∠D=∠A,
∴∠CBD=∠A.
∵∠BCP=∠ACB,
∴△CAB∽△CBP.
(2)由
(1),得△CAB∽△CBP,
∴$\frac{CB}{CP}$=$\frac{CA}{CB}$.
∵BC=4$\sqrt{3}$,CP=6,
∴$\frac{4\sqrt{3}}{6}$=$\frac{CA}{4\sqrt{3}}$,即CA=8.
∴AP=AC−CP=2.

2. 如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D是边BC上的一个动点(不与点B，C重合)，在边AC上取一点E，使∠ADE=45°.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)设BD=x，AE=y.
①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
②求y的最小值.

答案： 解:
(1)证明:
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠C=45°,BC=2$\sqrt{2}$.
∵∠ADC=∠B+∠BAD=45°+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC=45°+∠EDC,
∴∠BAD=∠EDC.
　又∠B=∠C,
∴△ABD∽△DCE.
(2)①
∵△ABD∽△DCE,
∴$\frac{BD}{EC}$=$\frac{AB}{CD}$,即$\frac{x}{2 - y}=\frac{2}{2\sqrt{2}-x}$,
∴y=$\frac{1}{2}$x²−$\sqrt{2}$x + 2(0＜x＜2$\sqrt{2}$).
②y=$\frac{1}{2}$x²−$\sqrt{2}$x + 2
　　　=$\frac{1}{2}$(x−$\sqrt{2}$)² + 1,
　则当x=$\sqrt{2}$时，y的最小值是1.