《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例3】方程$x^{2}+x - 12 = 0$的根是(D)
A. 3，4
B. $-3$，$-4$
C. $-3$，4
D. 3，$-4$

答案： D

【变式3】(整体思想)若$a$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x - 7 = 0$的一个解，则$a^{2}-2a$的值是7，$3a^{2}-6a + 5$的值是26.

答案： 7 26

【例4】根据下列问题，列出关于$x$的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长$x$；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长$x$.

答案： 解:
(1)根据题意,得$4x^{2}=25$,即$4x^{2}-25 = 0$.
(2)根据题意,得宽为$(x - 2)$,可列方程$x(x - 2) = 100$,即$x^{2}-2x - 100 = 0$.

【变式4】(人教教材母题)根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是$9cm^{2}$，求较长的直角边的长.

答案： 解:设较长的直角边的长为$x$cm,则较短的直角边的长为$(x - 3)$cm.根据题意,得$\frac{1}{2}(x - 3)x = 9$,整理,得$x^{2}-3x - 18 = 0$.

1. 已知关于$x$的方程$(a - 3)x^{|a| - 1}+x - 1 = 0$是一元二次方程，则$a$的值是(B)
A. 3
B. $-3$
C. 3或$-3$
D. 2

答案： B

2. 已知关于$x$的一元二次方程$(a - 1)x^{2}-2x + a^{2}-1 = 0$有一个根为$x = 0$，则$a = $-1.

答案： -1

3. (核心素养)(人教教材母题)如果2是方程$x^{2}-c = 0$的一个根，那么常数$c$是多少？求出这个方程的其他根.

答案： 解:
∵2是方程$x^{2}-c = 0$的一个根,
∴$4 - c = 0$,解得$c = 4$.
∴方程为$x^{2}-4 = 0$.解得$x = ±2$.
∴方程的其他根为$x = -2$.

4. 若$m$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}+3x - 5 = 0$的一个根，则$2025 - 2m^{2}-6m$的值为2015.

答案： 2015