《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

已知点$(3,y_1)$和点$(-2,y_2)$都在函数$y = 3(x + 1)^2$的图象上,则$y_1$与$y_2$的大小关系为____.

答案： [例3]$y_1 ＞ y_2$

已知点$(x_1,y_1)$和点$(x_2,y_2)$都在抛物线$y = a(x - 3)^2(a ＜ 0)$的图象上,且$x_1 ＞ x_2 ＞ 3$,则$y_1$与$y_2$的大小关系为____.

答案： [变式3]$y_2 ＞ y_1$

已知二次函数$y = (x - 1)^2$,当$2 ＜ x \leq 5$时,$y$的取值范围为____.

答案： [例4]$1 ＜ y \leq 16$

已知二次函数$y = -3(x + 1)^2$,当$-2 ＜ x ＜ 1$时,$y$的取值范围为____.

答案： 　[变式4]$-12 ＜ y \leq 0$

1. 关于$y = (x - 3)^2$的图象,下列叙述不正确的是 (A)
A. 顶点坐标为$(-3,0)$
B. 对称轴为直线$x = 3$
C. 当$x ＞ 3$时,$y$随$x$的增大而增大
D. 当$x = 3$时,$y$有最小值$0$

答案： A

抛物线$y = 3(x - 4)^2$的开口向上,顶点坐标是$(4, 0)$,对称轴是直线$x = 4$.

答案： 上　$(4, 0)$　$x = 4$

3. 已知函数$y = 3(x - 2)^2$的图象上有三点$A(1,y_1)$,$B(2,y_2)$,$C(-4,y_3)$,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为 (A)
A. $y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
B. $y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
C. $y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
D. $y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$

答案： A

4. 将抛物线$y = -2(x - 1)^2$向左平移4个单位长度后,得到的抛物线的解析式是$y = -2(x + 3)^2$.

答案： $y = -2(x + 3)^2$

5. (多维原创)已知二次函数$y = -(x + 2)^2$.
(1) 在下图中画出该函数的图象,并填表:

(2) 当$x$____时,$y$随$x$的增大而减小.
(3) 当$-3 \leq x \leq 2$时,$y$的取值范围为____.

答案：
解：
(1)函数图象如图所示。
| $x$ | $\cdots$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $\cdots$ | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ | $\cdots$ |

(2)$＞ -2$
(3)$-16 \leq y \leq 0$

6. 如图,将抛物线$y = x^2$向右平移$a$个单位长度,顶点为点$A$,与$y$轴交于点$B$,且$\triangle AOB$为等腰直角三角形.
(1) 求$a$的值;
(2) 在图中的抛物线上是否存在点$C$,使$\triangle ABC$为等腰直角三角形? 若存在,直接写出点$C$的坐标,并求$S_{\triangle ABC}$;若不存在,请说明理由.

答案：
解：
(1)平移后的抛物线的解析式为$y = (x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$。
令$y = x^2 - 2ax + a^2$中$x = 0$，则$y = a^2$，
$\therefore B(0, a^2)$。
$\because \triangle AOB$为等腰直角三角形，
$\therefore a = a^2$，
解得$a = 1$或$a = 0$(不符合题意，舍去)。
$\therefore a$的值为1。
(2)存在。理由如下：
如图，作点$B$关于抛物线对称轴对称的点$C$，连接$BC$，交抛物线的对称轴于点$D$。

$\because \triangle AOB$为等腰直角三角形，
$\therefore \triangle ABD$为等腰直角三角形。
$\therefore \angle BAD = 45^{\circ}$。
$\because AD$为抛物线的对称轴，
$\therefore AB = AC$，$\angle CAD = \angle BAD = 45^{\circ}$。
$\therefore \triangle ABC$为等腰直角三角形。
$\because$点$B(0, 1)$，抛物线对称轴为直线$x = 1$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(2, 1)$，$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} × \sqrt{2} × \sqrt{2} = 1$。