《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

一、预习导学
|垂径定理|图示|垂径定理的推论|
|----|----|----|
|垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
几何语言：
∵$ CD \perp AB $，
∴$ \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC} $，$ AE = BE $，$ \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD} $.|!|平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
几何语言：
∵$ CD $ 是 $ \odot O $ 的直径，$ AE = BE $，
∴$ CD \perp AB $，$ \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC} $，$ \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD} $.|

答案： (从左到右)
平分 弧 $ CD \perp AB $
$ \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC} $，$ AE = BE $，$ \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD} $
垂直 平分 $ CD $ 是 $ \odot O $ 的直径，$ AE = BE $
$ CD \perp AB $，$ \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC} $，$ \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD} $

【例1】如图，CD是⊙O的弦，点B是CD的中点，则下列结论错误的是( )

A. $ BC = BD $
B. $ OA \perp CD $
C. $ \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AD} $
D. $ OB = AB $

答案： D

【变式1】如图，在半径为5cm的⊙O中，弦$ AB = 6 \text{cm} $，点C为AB的中点，则下列说法正确的是____.

①$ OC \perp CB $；②$ CA = CB $；
③$ OC = 4 \text{cm} $；④$ OC = AC $.

答案： ①②③

【例2】如图，点D为弦AB的中点，$ OD = 8 $，$ AB = 12 $，求⊙O的半径.

答案：
解：
∵点D为弦AB的中点，OC是$ \odot O $的半径，
∴$ OC \perp AB $，$ AD = \frac{1}{2}AB = 6 $。
如图，连接OA。

在$ Rt\triangle OAD $中，$ OA = \sqrt{OD^{2} + AD^{2}} = 10 $。
即$ \odot O $的半径为10。

【变式2】如图，点A，B，C在⊙O上，点D是AB的中点，若⊙O的半径是6cm，$ CD = 2 \text{cm} $，求AB的长.

答案： 解：
∵点D是AB的中点，
OC是圆O的半径，
∴$ CD \perp AB $，$ AD = \frac{1}{2}AB $。
∵圆O的半径是6cm，$ CD = 2 $cm，
∴$ OD = OC - CD = 4 $(cm)。
在$ Rt\triangle AOD $中，
$ AD = \sqrt{AO^{2} - OD^{2}} = 2\sqrt{5} $(cm)。
∴$ AB = 2AD = 4\sqrt{5} $(cm)。

【例3】(人教教材母题改编)如图，一圆弧形拱桥，跨度$ AB = 12 \text{m} $，拱高(圆弧中点C到弦AB的距离)为3m，求半径OA的长.

答案： 解：由题意，得$ OC \perp AB $，
$ CD = 3 $m，
∴$ \angle ADO = 90^{\circ} $，$ AD = \frac{1}{2}AB = 6 $(m)。
设OA为x m，则OD为$ (x - 3) $m。
在$ Rt\triangle AOD $中，$ AD^{2} + OD^{2} = AO^{2} $，
即$ 6^{2} + (x - 3)^{2} = x^{2} $，
解得$ x = \frac{15}{2} $。
即半径OA的长为$ \frac{15}{2} $m。

【变式3】如图，AB为半圆直径，点O为圆心，点C为半圆上的一点，点E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若$ AC = 8 \text{cm} $，$ DE = 2 \text{cm} $，求OD的长.

答案： 解：
∵点E为弧AC的中点，
∴$ OE \perp AC $。
∴$ AD = \frac{1}{2}AC = 4 $(cm)。
∵$ OD = OE - DE = (OE - 2) $cm，
$ OA = OE $，
∴在$ Rt\triangle OAD $中，$ OA^{2} = OD^{2} + AD^{2} $，
即$ OA^{2} = (OE - 2)^{2} + 4^{2} $，
解得$ OE = 5 $。
∴$ OD = OE - DE = 3 $(cm)。