《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 用配方法求抛物线$y = 2x^{2}-4x + 3$的顶点坐标.
2. 用配方法求抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的顶点坐标.
结论:二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的对称轴为直线$x =$____，顶点坐标为____；当$x =$____时，函数的最值为____.

答案： 解:y=2x²−4x+3 　　　=2(x²−2x)+3 　　　=2(x²−2x+1−1)+3 　　　=2(x−1)²−2+3 　　　=2(x−1)²+1.
∴抛物线y=2x²−4x+3的顶点坐标是(1,1).
@@解:y=ax²+bx+c 　　　=a(x²+$\frac{b}{a}$x)+c 　　　=a(x²+$\frac{b}{a}$x + $\frac{b²}{4a²}$ - $\frac{b²}{4a²}$)+c 　　　=a(x+$\frac{b}{2a}$)² - $\frac{b²}{4a}$+c 　　　=a[x - (-$\frac{b}{2a}$)]²+$\frac{4ac - b²}{4a}$.
∴抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是(-$\frac{b}{2a}$,$\frac{4ac - b²}{4a}$).　−$\frac{b}{2a}$　　(-$\frac{b}{2a}$,$\frac{4ac - b²}{4a}$)　−$\frac{b}{2a}$　$\frac{4ac - b²}{4a}$

【例1】求下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)$y = -2x^{2}+8x - 8$；
(2)$y = -\frac{1}{3}x^{2}-2x + 1$.

答案： 解:
(1)
∵y=−2x²+8x−8=−2(x−2)²,
∴抛物线的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,0).
(2)
∵y = -$\frac{1}{3}$x²−2x + 1 = -$\frac{1}{3}$(x + 3)²+4,
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=−3,顶点坐标为(−3,4).

【变式1】求下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)$y = -3x^{2}+12x - 3$；
(2)$y = \frac{1}{2}x^{2}-2x - 1$.

答案： 解:
(1)
∵y=−3x²+12x−3=−3(x−2)²+9,
∴抛物线y=−3x²+12x−3的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,9).
(2)
∵y=$\frac{1}{2}$x²−2x−1 = $\frac{1}{2}$(x−2)²−3,
∴抛物线y=$\frac{1}{2}$x²−2x−1的开口向上,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,−3).

【例2】已知抛物线$y = x^{2}+(m + 1)x$的对称轴是直线$x = -2$，求$m$的值及顶点坐标.

答案： 解:依题意,得−$\frac{m+1}{2}$=−2,
　解得m=3.
∴y=x²+4x.
∴y=x²+4x=(x+2)²−4.
∴该抛物线的顶点坐标为(−2,−4).

【变式2】(多维原创)已知二次函数$y = -x^{2}+mx + m + 1$的最大值为4，求$m$的值及该函数图象的对称轴.

答案： 1. 首先，对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其顶点纵坐标公式为$y=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，对称轴公式为$x =-\frac{b}{2a}$：
对于二次函数$y=-x^{2}+mx + m + 1$，其中$a=-1$，$b = m$，$c=m + 1$。
根据顶点纵坐标公式$y=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，已知最大值$y = 4$（因为$a=-1\lt0$，函数图象开口向下，顶点纵坐标就是最大值）。
代入可得：$4=\frac{4×(-1)×(m + 1)-m^{2}}{4×(-1)}$。
2. 然后，化简方程：
方程$4=\frac{-4(m + 1)-m^{2}}{-4}$，两边同时乘以$-4$得：$-16=-4(m + 1)-m^{2}$。
去括号得：$-16=-4m-4 - m^{2}$。
移项化为一元二次方程的一般形式：$m^{2}+4m-12 = 0$。
3. 接着，分解因式求解方程：
对于一元二次方程$m^{2}+4m - 12 = 0$，分解因式得$(m + 6)(m - 2)=0$。
则$m+6 = 0$或$m - 2=0$。
解得$m=-6$或$m = 2$。
4. 最后，求对称轴：
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，$a=-1$，$b = m$，所以对称轴$x=\frac{m}{2}$。
当$m=-6$时，对称轴$x=\frac{-6}{2}=-3$；当$m = 2$时，对称轴$x=\frac{2}{2}=1$。
综上，当$m=-6$时，对称轴为$x=-3$；当$m = 2$时，对称轴为$x = 1$。