《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例1】将抛物线$y = 2(x - 1)^2$向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得新抛物线的解析式是( )
A. $y = 2(x - 3)^2 - 2$
B. $y = 2(x - 3)^2 + 2$
C. $y = 2(x + 1)^2 - 2$
D. $y = 2(x + 1)^2 + 2$

答案： A

【变式1】(1) 抛物线$y = 3x^2$先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到的抛物线的解析式为y=3(x+2)²+5；
(2) 抛物线$y = -3(x - 4)^2 + 1$先向下平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为y=−3(x−9)²。

答案：
(1)y=3(x+2)²+5
(2)y=−3(x−9)²

【例2】关于二次函数$y = 2(x - 3)^2 + 1$的图象有下列说法，其中正确结论的序号是____。
① 开口向下；
② 对称轴为直线$x = -3$；
③ 顶点坐标为$(3, -1)$；
④ 当$x ＜ 3$时，$y$随$x$的增大而减小；
⑤ 可由抛物线$y = 2x^2$先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到。

答案： ④

【变式2】对于二次函数$y = -4(x + 6)^2 - 5$的图象，下列说法正确的是( )
A. 函数的最大值为$-5$
B. 对称轴是直线$x = 6$
C. 顶点坐标为$(-6, 5)$
D. 当$x ＜ -6$时，$y$随$x$的增大而减小

答案： A

【例3】已知二次函数$y = 2(x + 1)^2 - 1$。
(1) 当$-2 \leq x \leq 3$时，函数的最小值为−1；
(2) 当$0 \leq x \leq 3$时，函数的最小值为1。

答案：
(1)−1　
(2)1

【变式3】已知二次函数$y = -5(x - 3)^2 + 2$。
(1) 当$4 \leq x \leq 7$时，函数的最大值为−3；
(2) 当$1 ＜ x ＜ 6$时，函数的最大值为2。

答案：
(1)−3　
(2)2

1. 将抛物线$y = -3x^2$向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为(C)
A. $y = -3(x - 2)^2 - 1$
B. $y = -3(x - 2)^2 + 1$
C. $y = -3(x + 2)^2 - 1$
D. $y = -3(x + 2)^2 + 1$

答案： C

2. 二次函数$y = 4(x - 3)^2 + 7$的顶点坐标是(B)
A. $(-3, 7)$
B. $(3, 7)$
C. $(-3, -7)$
D. $(3, -7)$

答案： B

3. 已知点$A(-1, y_1)$，$B(-2, y_2)$，$C(-3, y_3)$是抛物线$y = 3(x + 1)^2 - 1$上的三个点，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是y₁＜y₂＜y₃。

答案： y₁＜y₂＜y₃

4. 已知抛物线$y = (x - 1)^2 + (m + 2)$的顶点在第四象限，则$m$的取值范围为m＜−2。

答案： m＜−2

5. 已知二次函数$y = (x - 2)^2 - 1$。
(1) 画出函数的图象，并填表：
| $x$ | $\cdots$ | | | | | | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $\cdots$ | | | | | | $\cdots$ |
(2) 函数的最小值为____；
(3) 当$2 \leq x \leq 5$时，$y$的最大值为____；
(4) 当$-2 \leq x \leq 3$时，$y$的最小值为____，最大值为____。

答案：
解:
(1)如图所示.
| x | … | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| y | … | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 | … |

(2)−1　
(3)8　
(4)−1　15

6. (核心素养) 如图，抛物线$y = -(x - 1)^2 + 4$与$x$轴交于$A(-1, 0)$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，点$P$是抛物线对称轴$l$上的一个动点，当$PA + PC$的值最小时，求点$P$的坐标。

答案：
解:如图，连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小.
　由抛物线的解析式y=−(x−1)²+4可知,对称轴l为直线x=1,
　点A(−1,0)关于对称轴l的对称点为(3,0),即点B(3,0).
　当x=0时,y=3,即点C(0,3).
　设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0).
　　　　　
　依题意，得{0 = 3k + b,b = 3}，解得{k = -1,b = 3}，
∴直线BC的解析式为y=−x+3.
∵当x=1时,y=−1+3=2,
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为(1,2).