《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 问题引入.
(1) 某住宅小区要种植一块面积为 $ 1000m^{2} $ 的矩形草坪，草坪的长 $ y $ (单位：m) 随宽 $ x $ (单位：m) 的变化而变化，则 $ y $ 与 $ x $ 的关系式为$ y = \frac{1000}{x} $；
(2) 甲、乙两地相距 $ 500km $，某列车的平均速度 $ v $ (单位：km/h) 随时间 $ t $ (单位：h) 的变化而变化，则 $ v $ 与 $ t $ 的关系式为$ v = \frac{500}{t} $.

答案：
(1) $ y = \frac{1000}{x} $
(2) $ v = \frac{500}{t} $

2. 形如 $ y = $$\frac{k}{x}$( $ k $ 为常数， $ k \neq 0 $ ) 的函数，叫做反比例函数，自变量 $ x $ 的取值范围是$x \neq 0$.
反比例函数的三种解析式： $ y = \frac{k}{x} $， $ xy = k $， $ y = kx^{-1} $ ( $ k $ 为常数， $ k \neq 0 $ ).

答案： $ \frac{k}{x} $ $ x \neq 0 $

【例1】下列 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数吗？如果是，请写出对应的 $ k $ 值；如果不是，请在横线上画“×”.
(1) $ y = \frac{1}{\pi} $；× (2) $ xy = 8 $；8
(3) $ y = \frac{3}{4x} $；$\frac{3}{4}$ (4) $ y = \frac{3}{2}x^{-1} $；$\frac{3}{2}$
(5) $ y = \frac{3x}{4} $；× (6) $ y = \frac{2}{\sqrt{x}} $.×

答案：
(1) ×
(2) 8
(3) $ \frac{3}{4} $
(4) $ \frac{3}{2} $
(5) ×
(6) ×

【变式1】(1) 下列函数 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数的是 ( )
A. $ y = \frac{1}{x - 1} $
B. $ y = \frac{1}{x^{3}} $
C. $ y = -\frac{5}{x} $
D. $ y = -\frac{x}{4} $
(2) 如果函数 $ y = 5x^{k - 3} $ 是反比例函数，那么 $ k $ 的值是________.

答案：
(1)C
(2)2

【例2】已知 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数，当 $ x = 2 $ 时， $ y = 6 $.
(1) 写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
(2) 当 $ x = 4 $ 时，求 $ y $ 的值.

答案： 解：
(1) $ \because y $ 是 $ x $ 的反比例函数，
$ \therefore $ 设 $ y = \frac{k}{x} $。
$ \because $ 当 $ x = 2 $ 时，$ y = 6 $，
$ \therefore k = xy = 12 $。
$ \therefore y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为 $ y = \frac{12}{x} $。
(2) 当 $ x = 4 $ 时，$ y = \frac{12}{4} = 3 $。

【变式2】已知 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数，当 $ x = -2 $ 时， $ y = 6 $.
(1) 求这个反比例函数的解析式；
(2) 当 $ y = 4 $ 时，求 $ x $ 的值.

答案： 解：
(1) 设这个反比例函数的解析式为 $ y = \frac{k}{x} $。
把 $ x = -2 $，$ y = 6 $ 代入，
得 $ k = -2 × 6 = -12 $。
$ \therefore $ 这个反比例函数的解析式为 $ y = -\frac{12}{x} $。
(2) 当 $ y = 4 $ 时，$ -\frac{12}{x} = 4 $，解得 $ x = -3 $。
$ \therefore $ 当 $ y = 4 $ 时，$ x = -3 $。