《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

相似三角形的性质：
(1)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比；
(2)相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

答案：
(1)相似比
(2)相似比 相似比的平方

【例1】已知$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，对应边的比为$2:3$。则下列说法错误的是(D)
A. 周长的比为$2:3$
B. 对应高的比为$2:3$
C. 对应角的比为$1:1$
D. 对应面积的比为$2:3$

答案： D

【变式1】(1)若$\triangle ABC$与$\triangle A_1B_1C_1$相似且对应中线之比为$2:5$，则周长之比和面积之比分别是(B)
A. $2:5$，$4:5$
B. $2:5$，$4:25$
C. $4:25$，$4:25$
D. $4:25$，$2:5$
(2)若两个相似三角形的面积比为$1:4$，则对应角平分线之比为$1:2$，周长比为$1:2$。

答案：
(1)B
(2)$1:2$ $1:2$

【例2】已知$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的相似比为$1:3$，若$\triangle ABC$的面积为$2m^2$，则$\triangle DEF$的面积为____。

答案： 【例2】$18m^{2}$ 

【变式2】两个相似三角形的面积比为$4:9$，其中一个三角形的周长为$12cm$，则另一个三角形的周长是____$cm$。

答案： 【变式2】8或18

【例3】如图，$AB$与$CD$相交于点$O$，$\triangle OBD \backsim \triangle OAC$，$\frac{OD}{OC} = \frac{3}{5}$，$OB = 6$，$S_{\triangle AOC} = 50$。求：
(1)$AO$的长；
(2)$S_{\triangle BOD}$。

答案： 解:
(1)$\because \triangle OBD\backsim \triangle OAC,$
$\therefore \frac {BO}{AO}=\frac {DO}{CO}=\frac {3}{5}.$
$\because BO=6,$
$\therefore AO=10.$
(2)$\because \triangle OBD\backsim \triangle OAC,\frac {OD}{OC}=\frac {3}{5},$
$\therefore \frac {S_{\triangle BOD}}{S_{\triangle AOC}}=\frac {9}{25}.$
$\because S_{\triangle AOC}=50,$
$\therefore S_{\triangle BOD}=18.$

【变式3】如图，点$D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点，且$\triangle ADE$的面积是$1$，求四边形$DBCE$的面积。

答案： 解:
∵点D,E分别为AB,AC的中点,
$\therefore AD=\frac {1}{2}AB,AE=\frac {1}{2}AC,DE// BC.$
$\therefore \triangle ADE\backsim \triangle ABC$，相似比是$1:2,$
又$\because \triangle ADE$的面积是1,
$\therefore \frac {S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac {1}{2})^{2}=\frac {1}{4}.$
$\therefore S_{\triangle ABC}=4S_{\triangle ADE}=4.$
$\therefore S_{四边形DBCE}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ADE}=4-1=3.$