《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例1】如图，$\triangle ABC$和$\triangle ABD$都为直角三角形，且$∠ACB=∠ADB=90^{\circ }$.求证：$A$，$B$，$C$，$D$四点在同一个圆上.

答案：
证明:如图,取AB的中点O,连接OD,OC.
　　
∵∠ADB=90°,点O为AB的中点，
∴OD=OA=OB.
　同理OC=OA=OB.
∴OA=OB=OC=OD.
∴A,B,C,D四点在同一个圆上.

【变式1】一副斜边长相等的直角三角板$(∠DAC=45^{\circ },∠BAC=30^{\circ })$，按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形.$A$，$B$，$C$，$D$四点在同一个圆上吗？请说明理由.

答案：
解:A,B,C,D四点在同一个圆上.理由如下:
　如图，取AC的中点O,连接OB，OD.
　　　　　　
∵∠B=∠D=90°,
∴OD=$\frac{1}{2}$AC=OA=OC,BO=$\frac{1}{2}$AC=OA=OC.
∴OA=OB=OC=OD.
∴A,B,C,D在以点O为圆心,以OA 为半径的圆上.
　即A,B,C,D能在同一个圆上.

【例2】如图，$AB$，$CD$是$\odot O$的两条平行弦，$MN$是$AB$的垂直平分线.求证：$MN$垂直平分$CD$.

答案： 证明:
∵MN是AB的垂直平分线，
∴MN过圆心O.
∵AB//CD,
∴MN⊥CD.
∴MN垂直平分CD.

【变式2】如图，$\odot O$的直径$AB$垂直弦$CD$于点$E$，连接$CO$并延长交$AD$于点$F$，若$CF⊥AD$，$AB=2$，求$CD$的长.

答案：
解:如图，连接OD.
　　　　　　
∵AB⊥CD,CF⊥AD,
∴∠AFO=∠CEO=90°.
∵∠AOF=∠COE,
∴∠A=∠C.
∵∠A=∠ODA,∠C=∠ODC,
∴∠A=∠ODA=∠ODC.
∵∠A+∠ODA+∠ODC=90°,
∴∠ODC=30°.
∵OD=$\frac{1}{2}$AB=1,
∴OE=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$.
∴DE=$\sqrt{1^{2} - (\frac{1}{2})^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴CD=$\sqrt{3}$.