《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例3】用直接开方法解一元二次方程：
(1)$2(x+1)^{2}=200$； (2)$(2x-1)^{2}-64=0$； (3)$(x-2)^{2}=0$.

答案：
(1)解：$(x+1)^{2}=100$，
$x+1=\pm 10$，
$\therefore x_{1}=9$，$x_{2}=-11$．
(2)解：$(2x-1)^{2}=64$，
$2x-1=\pm 8$，
$\therefore x_{1}=\frac{9}{2}$，$x_{2}=-\frac{7}{2}$．
(3)解：$x-2=0$，
$\therefore x_{1}=x_{2}=2$．

【变式3】用直接开方法解一元二次方程：
(1)(人教教材母题)$(x+6)^{2}-9=0$；解：$(x+6)^{2}=9$，
$x+6=\pm 3$，
$\therefore x_{1}=-3$，$x_{2}=-9$．(2)(人教教材母题)$3(x-1)^{2}-6=0$．解：$3(x-1)^{2}=6$，
$(x-1)^{2}=2$，
$x-1=\pm \sqrt{2}$，
$\therefore x_{1}=1+\sqrt{2}$，$x_{2}=1-\sqrt{2}$．

答案：
(1)解：$(x+6)^{2}=9$，
$x+6=\pm 3$，
$\therefore x_{1}=-3$，$x_{2}=-9$．
(2)解：$3(x-1)^{2}=6$，
$(x-1)^{2}=2$，
$x-1=\pm \sqrt{2}$，
$\therefore x_{1}=1+\sqrt{2}$，$x_{2}=1-\sqrt{2}$．

1. 解一元二次方程的思路：降次⇒一元一次方程.
2. 课堂总结：用直接开方法解一元二次方程，要把方程化为$x^{2}=p$或$(ax+b)^{2}=p$的形式.
(1)当$p＞0$时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根$x_{1}=$____，$x_{2}=\sqrt {p}$；
(2)当$p=0$时，方程有两个相等的实数根$x_{1}=x_{2}$；
(3)当$p$____0时，因为对任意实数$x$，都有$x^{2}≥0$，所以方程无实数根.

答案： 课堂总结：2．
(1)$-\sqrt{p}$
(3)$＜$

1. (多维原创)若方程$(x-1)^{2}=a$有实数解，则$a$的取值范围是 (B)
A. $a≤0$ B. $a≥0$ C. $a＞0$ D. $a＜0$

答案： B

2. 已知1是一元二次方程$x^{2}+p=0$的一个根，则该方程的另一个根是-1.

答案： -1

3. 解下列方程：
(1)$\frac {1}{2}(2x-1)^{2}-8=0$； (2)(人教教材母题)$(x-4)^{2}=(5-2x)^{2}$.

答案：
(1)解：$(2x-1)^{2}=16$，
$2x-1=\pm 4$，
$\therefore x_{1}=\frac{5}{2}$，$x_{2}=-\frac{3}{2}$．
(2)解：$x-4=\pm (5-2x)$，
$x-4=5-2x$，或$x-4=-5+2x$，
$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=1$．

4. 若$(a^{2}+b^{2}-3)^{2}=16$，则$a^{2}+b^{2}=$7.(提示：把$a^{2}+b^{2}$看作一个整体)

答案： 7

5. (应用意识)一桶油漆可刷的面积为$1500dm^{2}$，李林用这桶油漆恰好刷完10个如图所示的同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

答案： 解：设其中一个盒子的棱长是$x$dm．
根据题意，得$10×6x^{2}=1500$，
解得$x=5$（负数舍去）．
答：盒子的棱长是5dm．