《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

一、预习导学
|图形|切线长的定义|切线长定理|几何语言|
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|!|经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.|从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.|∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，OP平分∠APB.|

答案： 切点　两　切线长　平分
PA，PB是⊙O的切线
PA=PB　OP平分∠APB

【例1】如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，且∠APB=50°，下列说法不正确的是( )

A. PA=PB
B. ∠APO=25°
C. ∠AOB=130°
D. PO=2OA

答案： D

【变式1】如图，PA，PB是⊙O的两条切线，点A，B是切点，若∠APB=60°，PO=6，则PA的长为____.

答案： 3√3

【例2】如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°.
(1)求∠BAC的度数；
(2)当OA=2时，求AB的长.

答案：
解：
(1)
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AP = BP.
∵∠P = 60°，
∴∠PAB = 60°.
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠PAC = 90°.
∴∠BAC = 90° - 60° = 30°.
(2)如图，连接 OP.

∴在 Rt△AOP 中，OA = 2，∠APO = 30°.
∴OP = 4.
由勾股定理，得
AP = √(OP² - OA²) = 2√3.
∵AP = BP，∠APB = 60°，
∴△APB 是等边三角形.
∴AB = AP = 2√3.

【变式2】如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，∠OAB=38°，求∠P的度数.

答案： 解：
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA = PB，PA⊥OA.
∴∠PAB = ∠PBA，∠OAP = 90°.
∴∠PBA = ∠PAB = 90° - ∠OAB = 90° - 38° = 52°.
∴∠P = 180° - 52° - 52° = 76°.

探究：如图是一块三角形铁皮，如何在上面截下一个圆形的用料，使得这块图形用料最大？

答案：
解：如图，分别作三角形任意两个内角的角平分线交于一点O，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD长为半径作圆.