《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

正比例函数$y = x$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象有一个交点的纵坐标是2.
(1)求反比例函数$y=\frac{k}{x}$的解析式；(2)求这两个函数图象另一个交点的坐标.

答案： 解:
(1)当y=2时,x=2.
把(2,2)代入y=$\frac{k}{x}$,得k=4.
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$.
(2)联立$\begin{cases}y = x\\y=\frac{4}{x}\end{cases}$,得$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$或$\begin{cases}x = - 2\\y = - 2\end{cases}$.
∴另一个交点的坐标为(-2,-2).

【例1】如图，已知$A(-4,2)$，$B(n,-4)$是一次函数$y = kx + b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象的两个交点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式$kx + b-\frac{m}{x}＞0$的解集；
(3)求$\triangle AOB$的面积.

答案： 解:
(1)将A(-4,2)代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$,得m=-4×2=-8,
∴反比例函数的解析式为y=$-\frac{8}{x}$.
∵点B(n,-4)在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴-4=$-\frac{8}{n}$,
解得n=2.
∴点B(2,-4).
∵一次函数y=kx+b的图象过A(-4,2),B(2,-4)两点,
∴$\begin{cases}-4k + b = 2\\2k + b = - 4\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = - 1\\b = - 2\end{cases}$,
∴一次函数的解析式为y=-x - 2.
(2)不等式kx + b-$\frac{m}{x}$＞0的解集是0＜x＜2或x＜-4.
(3)在一次函数y=-x - 2中,令y=0,解得x=-2,
∴一次函数与x轴的交点为C(-2,0).
∴OC = 2.
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4 = 6$.

【变式1】如图，已知直线$y_1 = x + m$与$x$轴，$y$轴分别交于点$A$，$B$，与双曲线$y_2=\frac{k}{x}$分别交于点$C$，$D$，且点$C$的坐标为$(-1,2)$.
(1)分别求直线$AB$与双曲线的解析式；
(2)求点$D$的坐标；
(3)连接$OC$，$OD$，求$\triangle COD$的面积.

答案： 解:
(1)
∵点C(-1,2)在直线y1=x + m上,
∴2=-1 + m,
解得m = 3.
∴直线AB的解析式为y1=x + 3.
∵点C(-1,2)在双曲线y2=$\frac{k}{x}$上,
∴2=$\frac{k}{-1}$,解得k=-2.
∴双曲线的解析式为y2=$-\frac{2}{x}$.
(2)联立两函数解析式，得$\begin{cases}y = x + 3\\y=-\frac{2}{x}\end{cases}$,
解得$\begin{cases}x = - 1\\y = 2\end{cases}$或$\begin{cases}x = - 2\\y = 1\end{cases}$.
∴点D的坐标为(-2,1).
(3)
∵直线AB的解析式为y1=x + 3,
∴点A(-3,0).
∴OA = 3.
∵点C(-1,2),点D(-2,1),
∴$S_{\triangle COD}=S_{\triangle OAC}-S_{\triangle OAD}$
$=\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×3×1$
$=3-\frac{3}{2}$
$=\frac{3}{2}$.