《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

一、预习导学


成比例$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$成比例相等$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'},\angle A=\angle A'$

答案： (从上到下,从左到右)
成比例 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$ 成比例
相等 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'},\angle A=\angle A'$

【例1】如图，根据所给条件，求证：△ABC∽△DEF.

答案： 证明: $\because \frac{AB}{DE}=\frac{15}{27}=\frac{5}{9},\frac{AC}{DF}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9},\frac{BC}{EF}=\frac{25}{45}=\frac{5}{9}$,
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{5}{9}$.
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle DEF$.

【变式1】根据下列条件，判断△ABC与△A₁B₁C₁是否相似，并说明理由.
已知BC=4cm，AB=5cm，AC=8cm，B₁C₁=8cm，A₁B₁=10cm，A₁C₁=16cm.

答案： 解: $\triangle ABC$ 与 $\triangle A_1B_1C_1$ 相似.
理由如下:
$\because \frac{BC}{B_1C_1}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$,
$\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$,
$\therefore \frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{1}{2}$.
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle A_1B_1C_1$.

【例2】(人教教材母题节选)图中的两个三角形是否相似？为什么？

答案： 解:相似.
理由如下:
$\because \frac{AC}{EC}=\frac{54}{36}=\frac{3}{2},\frac{BC}{DC}=\frac{45}{30}=\frac{3}{2}$,
$\therefore \frac{AC}{EC}=\frac{BC}{DC}=\frac{3}{2}$.
又 $\because \angle BCA=\angle DCE$,
$\therefore \triangle ACB\backsim \triangle ECD$.

【变式2】如图，在△ABC中，点D，E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，△ADE与△ACB相似吗？请说明理由.

答案： 解: $\triangle ADE\backsim \triangle ACB$.
理由如下:
$\because AD=5,DB=7,AE=6,EC=4$,
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{5}{6+4}=\frac{1}{2},\frac{AE}{AB}=\frac{6}{7+5}=\frac{1}{2}$.
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$.
又 $\because \angle A=\angle A$,
$\therefore \triangle ADE\backsim \triangle ACB$.